Конференция «Философия математики: актуальные проблемы» (Москва, июнь 2007 г.)
Секция «МАТЕМАТИКА В КУЛЬТУРЕ: ПРОШЛОЕ, НАСТОЯЩЕЕ, БУДУЩЕЕ»
Цель данной работы – попытка проследить развитие представлений о неопределенности, случайности и риске, начиная от их первоначального философского осмысления и до формирования теоретико-вероятностных методов в финансовой математике, экономических и других науках. Далее будет представлен краткий исторический экскурс в проблему, намечающий лишь общие исторические вехи.
1. То, что в будущем может произойти больше вещей, чем произойдет на самом деле, понимали еще в Древней Греции. Однако даже Аристотель не дал рецептов определения вероятности успешного исхода. Когда греки хотели узнать, что может принести им завтрашний день, они обращались к оракулам, а греческие трагедии рассказывали историю за историей о беспомощности человека в тисках безликого Рока.
2. Первую попытку теоретического осмысления случайности в эпоху Возрождения следует отнести к 1494 г., когда Пачоли сформулировал задачу «о разделе банка в неоконченной игре». Задача состояла в следующем. A и B играли в мяч. Они договорились играть, пока один из них не выиграет четыре матча. Игра прекратилась после первого матча, который выиграл игрок B. Как поделить банк? Многочисленные попытки разрешить ее увенчались успехом лишь в 1654 г. в переписке Паскаля и Ферма. Однако данное достижение поставило проблемы более высокого уровня перед учеными и мыслителями того времени.
3. На пути их разрешения следует выделить XVIII век, известный своим лозунгом «Измерить можно все». Так, 1738 г. ознаменовался блистательными открытиями Даниила Бернулли. Он считал, что разумный человек, принимая решение, постарается максимизировать ожидаемую полезность некоторого вероятного события, а не его ожидаемое значение. Даниил Бернулли сформулировал мысль о том, что в отличие от фактов, дающих однозначный ответ на вопрос об ожидаемом значении, – факты для всех одни и те же, субъективный процесс оценки этого значения приводит к такому же количеству ответов, сколько людей в нем участвует. Дальше он предлагает методику подхода к определению того, насколько сильно чего-то хочет каждый, принимающий решение: объем и степень пожеланий обратно пропорциональны количеству того, что уже есть. Впервые в истории Даниил Бернулли применил измерение к тому, что до него считалось неизмеримым. «Принцип полезности» оказал решающее влияние на психологию и философию, потому что Даниил Бернулли предложил стандарт для оценки разумности человеческого поведения.
Большую роль в постижении неопределенности сыграла попытка Якоба Бернулли оценить неизвестную вероятность на основе экспериментально получаемых данных, которая позволила ему сформулировать в начале XVIII века «закон больших чисел». Полностью задача оценки неизвестной вероятности была разрешена Байесом в середине XVIII века.
4. Переход на следующий этап познания произошел в XIX веке, когда Гальтон в 1875 г. установил одну интересную универсальную закономерность, которую он назвал «регрессия» или «схождение к среднему». Суть ее в том, что если бы ее не было (то есть, в частности, если бы в опытах, осуществленных Гальтоном, большие горошины продуцировали бы еще большие, а малые – еще меньшие), то в мире не осталось бы никого, кроме карликов и гигантов.
5. Понятия же неопределенности, случайности и риска, а также правила корректной работы с ними и в их условиях окончательно оформились и приобрели научную обоснованность в XX веке с развитием теории статистических гипотез. Суть ее в том, что в условиях неопределенности выбор осуществляется не между тем, верна ли та или иная гипотеза или нет, а между тем, отказываемся ли мы или нет принять данную гипотезу. Мы можем решить, что вероятность нашей неправоты так мала, что не следует отказываться от принятия гипотезы (отвергать гипотезу). И мы можем решить, что вероятность нашей неправоты так велика, что мы должны отказаться от принятия гипотезы (отвергнуть гипотезу). Но если вероятность того, что мы неправы, не равна нулю, мы не можем утверждать, что гипотеза верна. Эта принципиальная позиция отделяет обоснованное научное исследование от шарлатанства. Гипотеза является обоснованной и научной, если она допускает проверку, по результатам которой может быть отвергнута, и вероятность такого исхода должна быть измеримой.
Интересно отметить также, что подход, который бы учитывал, например, при игре все возможные варианты поведения всех сторон одновременно, долгое время считался нереализуемым. Но в 1928 г. фон Нейман успешно справился с этой задачей, разработав основы теории игр, а Моргенштерн в 1944 г. применил полученные результаты в экономике. Изобретение же математиками в середине XX века «метода Монте-Карло», основанного на моделировании случайных величин, привело к разработке самых объективных и эффективных численных методов с множеством практических приложений.
6. Существенным для анализа финансовых процессов стало открытие Башелье 1900 г., касающееся того, что цены рисковых активов имеют случайное блуждание. Кроме того, именно Башелье предложил способ расчета справедливых цен рисковых активов, то есть таких цен, при которых финансовый рынок является справедливой игрой, то есть разбогатеть на нем, не рискуя, невозможно. А в 1970-х годах Марковиц разработал принцип уменьшения риска портфеля ценных бумаг, который получил название «диверсификация» и, образно говоря, состоял в том, чтобы «не класть все яйца в одну корзину». Кроме того, он построил, а затем вместе с Шарпом усовершенствовал модель, использование которой позволяло составлять наиболее эффективный по критерию «доходность-риск» портфель.
7. Наиболее современным этапом познания неопределенности, случайности и риска стали исследования Канемана, Тверски и их коллег Талера, Белла, Эллсберга, Фокса, которые выявили систематическую иррациональность в поведении человека, вынужденного принимать решения в условиях неопределенности, случайности и риска.
1. Бернстайн П. Против богов: Укрощение риска. М.: Олимп-Бизнес, 2000.
2. Бабайцев В.А., Гисин В.Б. Концепция арбитража в математической теории эффективного рынка // Вестник ФА, 2005, сер. 2, № 34.
3. Kahneman D., Tversky A. Prospect
theory: An analysis of decision under risk // Econometrica,
1979, vol. 47, № 2. P. 263–291.
4. Markowitz H.
Portfolio selection: Efficient diversification of investments. Wiley:
5. Neumann J., Morgenstern
O. Theory of games and economic behavior.