На правах рукописи

 

Барминский Александр Владимирович

Barminsky Alexander Vladimirovich

 

Максимизация оценки ожидаемого объема производства предприятия в рамках концепции стохастической граничной производственной функции

 

Maximization of an expected firm production volume estimate in the view of the stochastic frontier production function concept

 

Специальность 08.00.13
«Математические и инструментальные методы экономики»

 

 

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени
кандидата экономических наук

 

 

 

 

 

© Барминский А. В. 2008‑2009

________________________________________________________________________

 

Общая характеристика
диссертационной работы

 

Актуальность темы исследования

Концепция эффективности всегда играла и продолжает играть существенную роль в экономической науке, хотя в современной неоклассической теории производства ей не уделяется должного внимания. Тем не менее в последнее время предпринимаются многочисленные попытки измерить так называемую «технологическую эффективность» производственного процесса. Это позволяет применять концепцию эффективности к определению наиболее выгодной стратегии распределения ресурсов предприятия. А так как эта концепция базируется на некоторой точке отсчета, объем производства исследуемого экономического объекта необходимо сравнивать с этой точкой отсчета. То есть, чтобы утверждать, что объект производит меньше своего потенциального уровня при фиксированных затратах ресурсов, нужно знать этот потенциальный уровень.

Еще достаточно давно исследователями было замечено, что результаты производственной деятельности экономических объектов отклоняются от рассчитываемых согласно классической производственной функции, причем в большинстве случаев в меньшую сторону. С экономической точки зрения, причиной данного явления служит неэффективность. Факторы неэффективности оказывают иногда достаточно весомые воздействия на результат производства. Однако увеличение результата производственной деятельности в случае их присутствия все же может быть достигнуто как путем перераспределения ресурсов с целью их более эффективного использования, так и путем воздействия на факторы неэффективности. Поэтому, принимая во внимание серьезность этого вопроса, имеющего экономические и социальные последствия, представляется необходимым создание возможности для идентификации и количественной оценки влияния факторов неэффективности. Такая возможность возникает благодаря появлению и развитию концепции стохастической граничной производственной функции: в ее аспекте рассматриваемое явление впервые получило теоретико-вероятностную интерпретацию.

Наконец, диссертационное исследование приобретает актуальность в силу текущего мирового финансово-экономического кризиса. Действительно, ведь именно по этой причине экономическим объектам сейчас приходится принимать решения в условиях ограниченности инвестиций, для чего требуется уметь грамотно перераспределять имеющиеся средства.

 

Цели и задачи исследования

Целью диссертационного исследования является развитие методологии концепции стохастической граничной производственной функции, направленное на повышение качества решений по управлению производством и создание возможностей оценивать будущие характеристики производственного процесса в зависимости от принимаемых в настоящем решений. Особую значимость приобретают прикладные возможности методологии стохастической граничной производственной функции. В частности, для решения экономической задачи максимизации оценки ожидаемого объема производства предприятия.

Для достижения указанной цели необходимо разрешить математические задачи, связанные с получением оценок параметров модели производства и оценок характеристик технологической эффективности исследуемого объекта в рамках концепции стохастической граничной производственной функции.

 

Объект и предмет исследования

Объектом диссертационного исследования являются предприятие и модель его производственного процесса.

Предметом диссертационного исследования является эффективность использования основных производственных факторов, возможности ее оценки и повышения.

 

Теоретические, методологические основы исследования и методы исследования

Теоретическая и методологическая основа исследования опирается на работы следующих ученых: D. J. Aigner, G. E. Battese, J. van den Broeck, G. S. Corra, S. C. Kumbhakar, H. Leibenstein, C. A. K. Lovell, W. Meeusen, P. Schmidt, В. Н. Лившиц (экономические и методологические предпосылки тематики); D. J. Aigner, G. E. Battese, J. van den Broeck, T. J. Coelli, G. S. Corra, R. Färe, M. Farrell, F. R. Førsund, H. O. Fried, W. H. Greene, W. C. Horrace, J. Jondrow, L. Lee, C. A. K. Lovell, I. S. Materov, W. Meeusen, R. Rao, P. Schmidt, R. E. Stevenson, С. А. Айвазян, М. Ю. Афанасьев, А. А. Пересецкий (построение экономико-математических моделей).

При проведении диссертационного исследования использовались следующие методы научного познания: анализ и синтез, индукция и дедукция, логический метод, а также методология следующих научных дисциплин: математический анализ (включая методы оптимизации), численные методы, теория вероятностей, математическая статистика, эконометрика. Кроме того, были использованы возможности программных пакетов Excel и STATISTICA.

 

Научная новизна исследования

Научная новизна исследования состоит в следующем.

1      Для использованного автором способа параметризации модели выписана логарифмическая функция правдоподобия выборки логарифмов значений объемов производства. Аналитически найдены ее частные производные.

2      Создан новый программный продукт, альтернативный «FRONTIER Version 4.1b» и позволяющий осуществить решение задачи максимизации логарифмической функции правдоподобия с помощью встроенной в пакет MS Excel процедуры «Поиск решения». В дополнение к математическому ожиданию в реализации автора вычисляются оценки дисперсии и моды технологической эффективности при условии, что объем производства принял значение, измеренное на практике.

3      Введено понятие технологической эффективности объекта за промежуток времени в несколько периодов (с первого по последний включительно), альтернативное ранее использовавшемуся.

4      Впервые аналитически вычислена оценка моды технологической эффективности при условии, что объем производства принял значение, измеренное на практике.

5      Предложен критерий выявления наблюдений, которым соответствовала наиболее экономически эффективная и наименее экономически эффективная производственная деятельность исследуемого объекта. Этот критерий основан не только на значениях оценок математических ожиданий технологических эффективностей за периоды при условии, что объемы производства приняли значения, измеренные на практике, но включает в себя и значения оценок дисперсий указанных случайных величин.

6      В рамках концепции стохастической граничной производственной функции сформулирована и решена задача максимизации оценки ожидаемого объема производства как в условиях фиксации значений производственных факторов (то есть при установившемся производственном процессе), так и при произвольных их значениях (то есть при изменяющемся производственном процессе). Получены соответствующие оценки ожидаемого объема производства.

7      В рамках методологии классического регрессионного анализа поставлена и решена задача максимизации оценки ожидаемого объема производства в условиях и вне условий фиксации значений производственных факторов при наличии воздействия неэффективности на производственный процесс.

8      Предложен удобный и универсальный способ решения задач максимизации из пп. 5–6 с любыми типами и видами ограничений.

 

Область применения полученных результатов, их практическая и теоретическая значимость

Областью применения полученных результатов является анализ (исторический и прогностический) производственного процесса на предприятии.

Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что на их основе могут выдаваться рекомендации объекту к организации операций в будущем с целью наиболее выгодной стратегии поведения в различных ситуациях, в частности, в случае необходимости принимать решения в условиях ограниченности инвестиций, для чего требуется уметь грамотно перераспределять имеющиеся средства.

Теоретическая значимость полученных результатов состоит в развитии методологии стохастической граничной производственной функции.

 

Апробация результатов исследования

Основные теоретические и практические результаты исследования были изложены на следующих научных конференциях: IV Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» (Сочи, 13‑18 мая 2008 г.), 15‑я научная конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов (Дубна, 20‑28 марта 2008 г.), Международная научно-практическая конференция «Экономика, управление и право – 2008» (Киров, 25 апреля 2008 г.) – и научном семинаре «Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов» (ЦЭМИ РАН, 6 мая 2009 г.).

 

Структура и объем работы

Диссертационное исследование включает в себя список обозначений, введение, 3 главы, 13 разделов, заключение, 3 приложения (включая библиографию из 59 названий). Объем работы составляет 103 страницы, включая иллюстративно-справочный материал из 5 рисунков и одной таблицы. Содержание работы представлено ниже.

 

Обозначения

Введение

Глава 1.   Стохастический подход к анализу производственного процесса: от классической производственной функции к стохастической производственной функции. Оценка параметров модели производства

1.1     Описание концепции граничной стохастической производственной функции

1.2     Вычисление логарифмической функции правдоподобия выборки Y₁, …, Y_p

1.3     Вычисление частных производных логарифмической функции правдоподобия

1.3.1  Частные производные по μ_Ui, i = 1, …, p

1.3.2  Частные производные по μ_Vi, i = 1, …, p

1.3.3  Частная производная по σ_U

1.3.4  Частная производная по σ_V

1.4     Общее описание алгоритма приближенного нахождения точки локального максимума логарифмической функции правдоподобия

1.5     Программные реализации алгоритма приближенного нахождения точки локального максимума логарифмической функции правдоподобия

Глава 2.   Теоретическое приложение концепции граничной стохастической производственной функции: производственный потенциал и технологическая эффективность. Оценка характеристик технологической эффективности

2.1     Понятие производственного потенциала за период, экономической эффективности за период и технологической эффективности за период. Технологическая эффективность за несколько периодов

2.2     Вычисление плотности распределения случайных величин {U_i|Y_i = y_i}

2.3     Оценка характеристик случайных величин {TE_i|Y_i = y_i}

2.3.1  Оценка математического ожидания {TE_i|Y_i = y_i}

2.3.2  Оценка центральных моментов {TE_i|Y_i = y_i}

2.3.3  Оценка моды {TE_i|Y_i = y_i}

2.4     Критерий выявления периодов, которым соответствовала наиболее эффективная и наиболее неэффективная деятельность объекта

Глава 3.   Практическое приложение концепции граничной стохастической производственной функции: расчет и анализ экономических показателей производственной деятельности экономического объекта

3.1     Постановка и решение задачи максимизации оценки ожидаемой технологической эффективности объекта и оценки его ожидаемого объема производства в условиях фиксации значений производственных факторов. Задача максимизации оценки ожидаемого объема производства вне условий фиксации значений производственных факторов

3.2     Моделирование исходных данных и применение к ним расчетной программы для нахождения значений апостериорных оценок математического ожидания технологической эффективности объекта

3.3     Постановка и решение задачи максимизации оценки ожидаемого объема производства с точки зрения концепции граничной стохастической производственной функции и классического регрессионного анализа

3.3.1  Решение задачи с точки зрения концепции граничной стохастической производственной функции

3.3.2  Решение задачи с точки зрения классического регрессионного анализа. Проблема выявления наличия неэффективности производственного процесса по исходным данным

3.4     Выводы

Заключение

Приложение А Вычисление плотности распределения случайных величин Y_i

Приложение Б Программа автора с интерфейсом

Библиография

 

 

 

Основные положения
диссертационной работы

 

Описание концепции

Согласно концепции стохастической граничной производственной функции, впервые введенной в работах W. Meeusen, J. van den Broeck (1977), D. J. Aigner, C. A. K. Lovell, P. Schmidt (1977), G. E. Battese, G. S. Corra (1977), производственный процесс моделируется следующим образом:

                                                                ,                                                           (1)

где случайная величина ; случайная величина  – это объем производства экономического объекта за i‑й период, ;

        – вектор логарифмов значений производственных факторов;

        – случайная величина, характеризующая влияние на объем производства объекта за i‑й период многих слабо существенных по отдельности систематических неконтролируемых воздействий (например, погодных явлений), в том числе ошибок измерения и неучтенных объясняющих переменных;  имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией : ;

        – независимая от  случайная величина, характеризующая влияние факторов неэффективности на объем производства объекта за i‑й период.

В качестве , , возьмем, согласно идее работы R. E. Stevenson (1980), взаимно независимые случайные величины, имеющие усеченное в нуле нормальное распределение с параметрами  и , то есть плотность распределения случайных величин  имеет вид:

                                                ,                                           (2)

где ; .

В качестве параметров  возьмем, согласно идее работ D. Reifschneider, R. Stevenson (1991), G. E. Battese, T. J. Coelli (1995),

                                                                     ,                                                                 (3)

где числа (детерминированные величины)  – вектор известных значений каждого из m факторов неэффективности, влияющих на объем производства объекта за i‑й период.

Вектор неизвестных числовых параметров модели, подлежащих оцениванию, есть .

Для описанной модели не выполняются условия теоремы Гаусса-Маркова, поэтому для ее анализа неприменима методология регрессионного анализа, и поиск несмещенных и/или линейных оценок параметров модели затруднен. Получение оценки  вектора параметров модели осуществлено в диссертации методом максимального правдоподобия. Для этого аналитически выведена логарифмическая функция правдоподобия модели и частные производные этой функции. Аналитически найти точку глобального максимума логарифмической функции правдоподобия или даже какую-нибудь точку ее локального максимума не представляется возможным. Поэтому предпринята попытка отыскать какую-нибудь точку ее локального максимума с помощью численных методов.

Автором создан программный продукт, альтернативный известной программе «FRONTIER Version 4.1b» и позволяющий осуществить решение задачи максимизации логарифмической функции правдоподобия с помощью встроенной в пакет MS Excel процедуры «Поиск решения».

В изложенной выше модели выражение

                                                                                                                 (4)

представляет собой случайную величину, характеризующую фактический объем производства объекта за i‑й период. Если же формально исключить из рассмотрения воздействие факторов неэффективности, то, так как носитель распределения случайной величины  есть интервал , данный объем производства повысится до уровня

                                                            .                                                       (5)

Последнее соотношение и называют стохастической граничной производственной функцией.

Технологическую эффективность  объекта за i‑й период в рамках концепции вводят следующим образом:

                                                                .                                                           (6)

Все  являются случайными величинами, а плотность их распределения имеет носитель . Апостериорные оценки характеристик случайных величин , , представляют собой ключевой экономический интерес. Однако случайные величины  ненаблюдаемы, то есть выявить истинные значения их числовых реализаций невозможно. Выходом из данного положения представляется использование характеристик условной случайной величины .

В диссертации выведена плотность распределения случайной величины , затем выведены оценки характеристик случайной величины , а именно, ее математического ожидания, центральных моментов и моды (впервые). Так, мода  существует лишь при  и равна

                                                        ,                                                   (7)

где, , , .

В результате предложен критерий выявления наблюдений, которым соответствовала наиболее и наименее экономически эффективная производственная деятельность исследуемого объекта. Этот критерий основан не только на значениях оценок математических ожиданий технологических эффективностей за периоды при условии, что объемы производства приняли значения, измеренные на практике, но включает в себя и значения оценок дисперсий указанных случайных величин. Так, для выявления множества наблюдений, которым соответствовала наиболее экономически эффективная производственная деятельность предприятия, из наблюдений, которым соответствует наибольшее (в пределах фиксированной точности) значение оценки математического ожидания случайной величины , выбираем те, которым соответствует наименьшее значение оценки дисперсии случайной величины . А для выявления множества наблюдений, которым соответствовала наименее экономически эффективная производственная деятельность предприятия, из наблюдений, которым соответствует наименьшее (в пределах фиксированной точности) значение оценки математического ожидания случайной величины , выбираем те, которым соответствует наименьшее значение оценки дисперсии случайной величины .

 

Постановка и решение задачи

Рассмотрим следующую экономическую задачу. Пусть в начале (p + 1)‑го периода на исследуемый экономический объект поступили инвестиции в размере  единиц измерения. Пусть целью рассматриваемого объекта является максимизация оценки ожидаемого объема производства в течение (p + 1)‑го периода. Тогда требуется установить, как наиболее выгодно израсходовать, то есть вложить в производственный процесс в течение (p + 1)‑го периода, сумму , чтобы достичь цели.

Переформулировка описанной задачи в математическую форму в рамках концепции осуществлена впервые и выглядит следующим образом:

                        ,                   (8)

где .

То есть требуется определить, как вести себя экономическому объекту, чтобы максимизировать оценку ожидаемого объема производства в будущем. Здесь  представляет собой множество допустимых векторов , отражающее ограничения их вариации. Пусть  – компакт в , то есть если среди ограничений имеются неравенства, то они нестрогие.

Тогда решение  (искомая стратегия) указанной задачи существует, так как непрерывная функция  достигает своего наибольшего значения на компакте, на котором она непрерывна. Аналитически получить решение этой задачи не представляется возможным, а численное решение предлагается осуществлять с помощью надстройки «Поиск решения».

Рассмотрим частный случай изложенной задачи, соответствующий ситуации фиксированных значений  производственных факторов. То есть пусть , где  представляет собой множество допустимых векторов  значений факторов неэффективности, отражающее ограничения их вариации. Пусть  – компакт в , то есть если среди ограничений имеются неравенства, то они нестрогие. С экономической точки зрения этот случай соответствует устоявшемуся производственному процессу. Переформулировка задачи в математическую форму в рамках концепции осуществлена впервые и выглядит следующим образом:

                                          ,                                     (9)

То есть требуется определить, как вести себя экономическому объекту, чтобы максимизировать оценку ожидаемой технологической эффективности в будущем.

Для решения поставленной задачи найдем

                                                          и                                                   (10)

(заметим, что  и  существуют). Затем попробуем найти наибольшее значение  выражения  как функции одной переменной  на отрезке  и соответствующее значение  (заметим, что  и  существуют). Попытка автора аналитически исследовать знак производной (а также найти ее корни) указанной функции не привела к результату. Поэтому и здесь неизбежно приходится применять численные методы. Как только  и  найдены, остается найти вектор , такой что  (заметим, что  существует, хотя может оказаться не единственным). Численное решение поставленной задачи предлагается осуществлять с помощью надстройки «Поиск решения».

Оценка ожидаемого объема производства объекта за (p + 1)‑й период наблюдения при реализации стратегии  составит

                                                  .                                            (11)

В диссертации смоделированы статистические данные, описывающие условный экономический объект, производственный процесс которого подвергается воздействию факторов неэффективности. В качестве производственных факторов для этого объекта взяты объемы  и  трудозатрат и капиталовложений, а в качестве факторов неэффективности – количество  сырья низкого качества, количество  устаревшего оборудования, количество  персонала низкой квалификации. Применение программной реализации автора к этим данным позволило получить оценку вектора параметров, которой соответствует большее значение логарифмической функции правдоподобия, нежели получаемое в программе «FRONTIER Version 4.1b». Так, если программа «FRONTIER Version 4.1b» позволяет получить оценку вектора параметров модели (0,947078; 0,000095; 2,175046; 1,614332; 1,634928; –2,772519; 0,520467; 0,583859; 0,926472) с соответствующим значением логарифмической функции правдоподобия минус 36,811317, то программная реализация автора позволяет получить оценку вектора параметров модели (0,978960; 0,5·10^–14; 2,432160; 1,748683; 1,885633; –3,249004; 0,628378; 0,682577; 0,807745) с соответствующим значением логарифмической функции правдоподобия минус 36,463359. Далее программной реализацией автора рассчитаны значения оценок математического ожидания, дисперсии и моды условных случайных величин , соответствующие каждому из периодов наблюдения.

Затем в диссертации рассмотрена задача максимизации оценки ожидаемого объема производства в течение (p + 1)‑го периода применительно к экономическому объекту, к которому относятся смоделированные данные. С точки зрения концепции стохастической граничной производственной функции как в случае фиксированных на (p + 1)‑й период, так и в случае не являющихся фиксированными значений производственных факторов решение задачи осуществляется в полном соответствии с теоретической схемой, изложенной выше.

В качестве углубления исследования сделана попытка решить указанную задачу с точки зрения классического регрессионного анализа. Анализ остатков  уравнения регрессии

                                                               ,                                                        (12)

проведенный на все тех же числовых данных, не выявил каких бы то ни было ограничений на использование данного уравнения регрессии. Таким образом, важная проблема выявления наличия неэффективности производственного процесса по исходным данным оказывается сложнее, чем казалось, и не утрачивает актуальности. Дальнейшее применение методик классического регрессионного анализа показывает, что уравнение регрессии (10) не является статистически значимым. Поэтому в качестве следующего этапа предложено рассмотреть уравнение регрессии

                                           .                                    (13)

Анализ остатков этого уравнения регрессии, проверка его статистической значимости, а также статистической значимости его параметров указывают на обоснованность его использования. Это позволило без затруднений решить задачу максимизации оценки ожидаемого объема производства как в случае фиксированных на (p + 1)‑й период, так и в случае не являющихся фиксированными значений производственных факторов также и с точки зрения классического регрессионного анализа. Хотя здесь следует заметить, что включение в один список с производственными факторами факторов неэффективности несколько изменяет интерпретацию последних.

 

Результаты и выводы

В результате исследования построенных моделей и решения задач максимизации оценки ожидаемого объема производства с использованием смоделированных данных автор пришел к следующим выводам.

Если решается задача прогнозирования объема производства, то в случае отсутствия воздействия факторов неэффективности или невозможности выявить это воздействие пользоваться следует моделями, построенными методами классического регрессионного анализа, а в случае выявленного воздействия факторов неэффективности можно пользоваться как приложением концепции стохастической граничной производственной функции, так и методами классического регрессионного анализа.

Если же речь идет о моделировании воздействия факторов неэффективности при получении или прогнозировании оценок технологической эффективности производственного процесса, то пользоваться нужно моделями, построенными на основе концепции стохастической граничной производственной функции, и ее приложением, разработанным автором, так как классический регрессионный анализ в этом случае оказывается бессилен.

К основным выводам диссертационного исследования относятся также следующие:

−     получены оценки технологической эффективности в рамках концепции стохастической граничной производственной функции;

−     развита методология концепции стохастической граничной производственной функции, что позволило поставить и решить задачу максимизации оценки ожидаемого объема производства;

−     подтвердилась необходимость применения численных методов;

−     вычислительные эксперименты подтвердили эффективность применения программного продукта автора к решению поставленных задач.

 

Опубликованы следующие работы:

 

1      Барминский, А. В. Производственная эффективность и оценка ожидаемого объема производства в аспекте концепции граничной стохастической производственной функции [Текст] / А. В. Барминский // Проблемы управления. – 2009. – № 2. – С. 40–46. – 0,9 п. л.

2      Барминский, А. В. Факторы неэффективности и наиболее эффективная стратегия управления производством [Текст] / А. В. Барминский // Материалы 15‑ой научной конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов, г. Дубна, 20‑28 марта 2008 г. – Дубна : Междунар. ун-т природы, о-ва и человека «Дубна», 2009. – 0,1 п. л.

3      Барминский, А. В. Факторы неэффективности и наиболее эффективная стратегия управления производством [Текст] / А. В. Барминский // Сборник материалов Международной научно-практической конференции «Экономика, управление и право – 2008». – Нижний Новгород ; Киров : МЦНИП, 2008. – 0,2 п. л.

4      Афанасьев, М. Ю.; Барминский, А. В. Обобщение подхода к описанию неэффективности в модели достижимого производственного потенциала [Текст] / М. Ю. Афанасьев, А. В. Барминский // Вестник Университета (ГУУ). – 2008. – № 2. – С. 121–127. – 0,8 п. л.

5      Афанасьев, М. Ю.; Барминский, А. В. Обобщенное описание неэффективности производства в модели стохастической границы [Текст] / М. Ю. Афанасьев, А. В. Барминский // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2008. – № 3(15). – 0,4 п. л.

6      Афанасьев, М. Ю.; Барминский, А. В. Обобщенная модель стохастической границы и факторы неэффективности производства [Текст] / М. Ю. Афанасьев, А. В. Барминский // Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», 13‑18 мая 2008 г. – Сочи : СГУТиКД, 2008. – 0,6 п. л.