Барминский А.В.
Предел функции
Определения, основные теоремы, приемы вычисления
Самоучитель
для студентов ВУЗов
УДК 517.0
Понимание темы «Предел функции» и
умение вычислять предел функции является важной необходимостью при изучении курса
высшей математики. Данное пособие-самоучитель посвящено изложению темы «Предел
функции» и включает в теоретической части определения и основные теоремы с по
возможности максимально полным указанием и разъяснением тонких, но
принципиально важных моментов. Практическая часть пособия посвящена изложению
всех наиболее часто применяемых приемов вычисления предела функции, за
исключением правила Лопиталя. Пособие включает обширный спектр примеров задач и
подробное изложение их наиболее рациональных (оптимальных) решений с по
возможности максимально полным указанием и разъяснением тонких, но
принципиально важных моментов. Пособие будет полезно для студентов ВУЗов и
начинающих преподавателей ВУЗов.
Ключевые слова: предел
функции, бесконечно большая функция, определение предела функции по Коши,
определение предела функции по Гейне, теорема о свойствах предела функции,
теорема о свойствах бесконечно больших функций, теорема о пределе сложной
функции, приемы вычисления предела функции, раскрытие неопределенностей, случай
отсутствия неопределенности, односторонние пределы, теорема об односторонних
пределах, бесконечно малая функция, эквивалентные бесконечно малые функции,
эквивалентности для элементарных функций, формулы Тейлора для элементарных
функций, o-малое.
Краткая биография автора
Выпускник механико-математического
факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.
Кандидат экономических наук по
специальности «Математические и инструментальные методы экономики».
С сентября 2006 г. по декабрь 2011 г.
штатный преподаватель математических дисциплин в государственном
образовательном учреждении высшего профессионального образования.
Обозначения
«для
всякого»
«найдется»
«такой,
что»
a – элемент множества A
множество A
входит в множество B (каждый элемент множества A
принадлежит множеству B)
пересечение
множеств A и B
объединение
множеств A и B
пустое
множество
из
справедливости утверждения A следует справедливость утверждения B
область
определения функции f
□ «начало решения»
■ «окончание решения»
exp(x) ex
Предисловие
Понимание темы «Предел
функции» и умение вычислять предел функции является важной необходимостью. Только
в курсе математического анализа понятие «предел функции» встречается при
изложении таких тем, как бесконечно малые и бесконечно большие функции,
непрерывность функции и точки разрыва, производная функции, асимптоты графика
функции, определенный интеграл, несобственный интеграл и т. д. Вычисление
предела функции неизбежно возникает в качестве подзадачи, например, при сравнении
порядков бесконечно малых и бесконечно больших функций, нахождении асимптот
графика функции, нахождении несобственного интеграла, а также во всех задачах,
сводимых к только что перечисленным.
Следует
отметить, что наличие немалого количества принципиально важных тонкостей в теме
«Предел функции» делает ее и задачи на нахождение предела функции весьма
сложными. Данное пособие-самоучитель посвящено изложению темы «Предел функции»
и включает в теоретической части определения и основные теоремы с по
возможности максимально полным указанием и разъяснением тонких, но
принципиально важных моментов. Практическая часть пособия посвящена изложению
всех наиболее часто применяемых приемов вычисления предела функции, за
исключением правила Лопиталя (правило Лопиталя не было включено в данное пособие
по причине наличия большого количества учебных пособий, в которых хорошо и
полно иллюстрируется его применение). Пособие включает обширный спектр примеров
задач и подробное изложение их наиболее рациональных (оптимальных) решений с по
возможности максимально полным указанием и разъяснением тонких, но
принципиально важных моментов.
Определение предела
функции. Основные теоремы
Изложим
определения, которые будем в дальнейшем использовать.
Будем считать,
что понятия «сходимость последовательности», «предел последовательности»,
«бесконечно большая последовательность», «бесконечно большая последовательность
отрицательного/положительного знака», свойства предела последовательности и
приемы его вычисления (перечисленное можно найти, например, в [1, гл.3], [3]) известны
читателю.
Определение 1а. Ситуацию
будем называть так: «предел функции
f(x)
при x, стремящемся к a, равен A» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 1б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она сходится к a и для всех n xn из D(f) и xn ≠ a (здесь и везде далее в определениях группы «б» – при условии, что соответствующие
последовательности существуют), следует, что последовательность {f(xn)} сходится к A» будем называть так: «предел функции f(x)
при x, стремящемся к a, равен A» – и обозначать так: или .
Определение 2а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при x, стремящемся к a, является бесконечно большой» – и обозначать
так: 
или 
.
Определение 2б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она сходится к a и для всех n xn из D(f) и xn ≠ a, следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой» будем называть
так: «функция f(x) при x, стремящемся к a, является бесконечно большой» – и обозначать
так: или .
Определение 3а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при x, стремящемся к a, является бесконечно большой отрицательного
знака» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 3б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она сходится к a и для всех n xn из D(f) и xn ≠ a, следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой отрицательного
знака» будем называть так: «функция f(x) при x, стремящемся к a, является бесконечно большой отрицательного
знака» – и обозначать так: или .
Определение 4а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при x, стремящемся к a, является бесконечно большой положительного
знака» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 4б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она сходится к a и для всех n xn из D(f) и xn ≠ a, следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой положительного
знака» будем называть так: «функция f(x) при x, стремящемся к a, является бесконечно большой положительного
знака» – и обозначать так: или .
Определение 5а. Ситуацию
будем называть так: «предел функции
f(x)
при x, стремящемся к a слева, равен A» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 5б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она сходится к a и для всех n xn из D(f) и xn < a, следует, что последовательность {f(xn)} сходится к A» будем называть так: «предел функции f(x)
при x, стремящемся к a слева, равен A» – и обозначать так: или .
Определение 6а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при x, стремящемся к a слева, является бесконечно большой» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 6б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она сходится к a и для всех n xn из D(f) и xn < a, следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой» будем называть
так: «функция f(x) при x, стремящемся к a слева, является бесконечно большой» – и обозначать так: или .
Определение 7а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при x, стремящемся к a слева, является бесконечно большой отрицательного знака» – и обозначать
так: 
или 
.
Определение 7б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она сходится к a и для всех n xn из D(f) и xn < a, следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой отрицательного
знака» будем называть так: «функция f(x) при x, стремящемся к a слева, является бесконечно большой отрицательного знака» – и обозначать
так: или .
Определение 8а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при x, стремящемся к a слева, является бесконечно большой положительного знака» – и обозначать
так: 
или 
.
Определение 8б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она сходится к a и для всех n xn из D(f) и xn < a, следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой положительного
знака» будем называть так: «функция f(x) при x, стремящемся к a слева, является бесконечно большой положительного знака» – и обозначать
так: или .
Определение 9а. Ситуацию
будем называть так: «предел функции
f(x)
при x, стремящемся к a справа, равен A» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 9б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она сходится к a и для всех n xn из D(f) и xn > a, следует, что последовательность {f(xn)} сходится к A» будем называть так: «предел функции f(x)
при x, стремящемся к a справа, равен A» – и обозначать так: или .
Определение 10а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при x, стремящемся к a справа, является бесконечно большой» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 10б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она сходится к a и для всех n xn из D(f) и xn > a, следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой» будем называть
так: «функция f(x) при x, стремящемся к a справа, является бесконечно большой» – и обозначать так: или .
Определение 11а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при x, стремящемся к a справа, является бесконечно большой отрицательного знака» – и
обозначать так: 
или 
.
Определение 11б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она сходится к a и для всех n xn из D(f) и xn > a, следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой отрицательного
знака» будем называть так: «функция f(x) при x, стремящемся к a справа, является бесконечно большой отрицательного знака» – и
обозначать так: или .
Определение 12а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при x, стремящемся к a справа, является бесконечно большой положительного знака» – и
обозначать так: 
или 
.
Определение 12б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она сходится к a и для всех n xn из D(f) и xn > a, следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой положительного
знака» будем называть так: «функция f(x) при x, стремящемся к a справа, является бесконечно большой положительного знака» – и
обозначать так: или .
Определение 13а. Ситуацию
будем называть так: «предел функции
f(x)
при бесконечно большом x равен A» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 13б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она является бесконечно большой и для всех n xn из D(f), следует, что последовательность {f(xn)} сходится к A» будем называть так: «предел функции f(x)
при бесконечно большом x равен A» – и обозначать так: или .
Определение 14а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при бесконечно большом x является бесконечно большой» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 14б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она является бесконечно большой и для всех n xn из D(f), следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой» будем называть так: «функция f(x)
при бесконечно большом x является бесконечно большой» – и обозначать так: или .
Определение 15а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при бесконечно большом x является бесконечно большой отрицательного знака» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 15б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она является бесконечно большой и для всех n xn из D(f), следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой отрицательного знака» будем называть
так: «функция f(x) при бесконечно большом x является бесконечно
большой отрицательного знака» – и обозначать так: или .
Определение 16а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при бесконечно большом x является бесконечно большой положительного знака» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 16б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она является бесконечно большой и для всех n xn из D(f), следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой положительного знака» будем называть
так: «функция f(x) при бесконечно большом x является бесконечно
большой положительного знака» – и обозначать так: или .
Определение 17а. Ситуацию
будем называть так: «предел функции
f(x)
при бесконечно большом x отрицательного знака равен A»
– и обозначать так: 
или 
.
Определение 17б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она является бесконечно большой отрицательного знака и для
всех n xn из D(f), следует, что последовательность {f(xn)} сходится к A» будем называть так: «предел функции f(x)
при бесконечно большом x отрицательного знака равен A»
– и обозначать так: или .
Определение 18а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при бесконечно большом x отрицательного знака является бесконечно
большой» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 18б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она является бесконечно большой отрицательного знака и для
всех n xn из D(f), следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой» будем называть так: «функция f(x)
при бесконечно большом x отрицательного знака является бесконечно
большой» – и обозначать так: или .
Определение 19а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при бесконечно большом x отрицательного знака является бесконечно
большой отрицательного знака» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 19б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она является бесконечно большой отрицательного знака и для
всех n xn из D(f), следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой отрицательного знака» будем называть
так: «функция f(x) при бесконечно большом x
отрицательного знака является бесконечно большой отрицательного знака» – и
обозначать так: или .
Определение 20а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при бесконечно большом x отрицательного знака является бесконечно
большой положительного знака» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 20б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она является бесконечно большой отрицательного знака и для
всех n xn из D(f), следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой положительного знака» будем называть
так: «функция f(x) при бесконечно большом x
отрицательного знака является бесконечно большой положительного знака» – и
обозначать так: или .
Определение 21а. Ситуацию
будем называть так: «предел функции
f(x)
при бесконечно большом x положительного знака равен A»
– и обозначать так: 
или 
.
Определение 21б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она является бесконечно большой положительного знака и для
всех n xn из D(f), следует, что последовательность {f(xn)} сходится к A» будем называть так: «предел функции f(x)
при бесконечно большом x положительного знака равен A»
– и обозначать так: или .
Определение 22а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при бесконечно большом x положительного знака является бесконечно
большой» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 22б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она является бесконечно большой положительного знака и для
всех n xn из D(f), следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой» будем называть так: «функция f(x)
при бесконечно большом x положительного знака является бесконечно
большой» – и обозначать так: или .
Определение 23а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при бесконечно большом x положительного знака является бесконечно
большой отрицательного знака» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 23б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она является бесконечно большой положительного знака и для
всех n xn из D(f), следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой отрицательного знака» будем называть
так: «функция f(x) при бесконечно большом x
положительного знака является бесконечно большой отрицательного знака» – и
обозначать так: или .
Определение 24а. Ситуацию
будем называть так: «функция f(x)
при бесконечно большом x положительного знака является бесконечно
большой положительного знака» – и обозначать так: 
или 
.
Определение 24б. Ситуацию «для любой последовательности {xn}, такой что она является бесконечно большой положительного знака и для
всех n xn из D(f), следует, что последовательность {f(xn)} является бесконечно большой положительного знака» будем называть
так: «функция f(x) при бесконечно большом x
положительного знака является бесконечно большой положительного знака» – и
обозначать так: или .
Выше в
единообразной форме собраны определения абсолютно всех возможных случаев.
Коротко всю группу «а» или «б» обозначений в определениях можно представить в
виде следующего символа:
Запомнить группу «а» определений
можно, держа в голове следующую диаграмму:
Данная книга опубликована издательством
Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
Сделаем важное
замечание. Известно, что записи «+1» и «1» эквивалентны (то есть являются
обозначениями одного и того же математического объекта), именно поэтому «+»
здесь можно опустить, записав «1» вместо «+1». Тогда как записывать вместо , опуская «+», недопустимо, так как 
.
Определения
группы «а» называются определениями «по Коши», а определения группы «б» –
определениями «по Гейне». Причем если существует/не существует предел функции по
Коши, то существует/не существует и предел функции по Гейне (при том же
стремлении x) и равен тому же числу/символу, и наоборот, то
есть определение по Коши и определение по Гейне задают один и тот же
математический объект. Иными словами, имеет место теорема:
Теорема 0а (приводится без доказательства). Определение
предела функции по Коши эквивалентно определению предела функции по Гейне.
Теоремы, которые
описывают свойства предела функции, следуют из соответствующих теорем для
предела последовательности.
Теорема 0б о некоторых свойствах предела
функции (приводится без
доказательства). Пусть существуют и 
. Тогда
1) 
,
2) 
,
3) при 
.
Указанная теорема
аналогично формулируется в любом из следующих случаев: 
, 
, 
, 
, 
.
Теорема 0в о некоторых свойствах
бесконечно больших функций (приводится
без доказательства).
1) Пусть , 
, 
.
Тогда 
и 
.
2) Пусть .
Тогда 
и 
3) Пусть .
Тогда 
и 
Указанная
теорема аналогично формулируется в любом из следующих случаев: , , , , .
Важной, часто
используемой и весьма тонкой является следующая теорема.
Теорема 0г о пределе сложной функции (приводится без доказательства).
Частный случай
1. Пусть функция f(t) определена в некоторой проколотой окрестности
точки t0, пусть функция g(x) определена в некоторой проколотой окрестности
точки x0. Пусть 
и 
. Пусть существует некоторая проколотая окрестность точки x0, в которой 
. Тогда 
.
Частный случай 2.
Пусть функция f(t) определена в некоторой проколотой окрестности
точки t0, пусть функция g(x) определена в некоторой проколотой окрестности
точки x0. Пусть 
и . Тогда 
.
Замечания. 1) Указанная
теорема допускает переформулировку для случаев , , , , , 
, 
, 
, 
, 
.
2) Условиям
частного случая 1 приведенной теоремы удовлетворяют, например, следующие
функции t = g(x): 
, 
, 
.
Приемы/алгоритмы
вычисления предела функции и раскрытия неопределенностей
0 Случай
отсутствия неопределенности
Теорема 1 (приводится без доказательства). Пусть f(x)
элементарная функция, то есть является результатом конечного числа
арифметических операций над простейшими функциями
,
и/или конечного числа композиций
простейших функций. Пусть точка 
и не изолирована, то
есть всякая проколотая окрестность этой точки содержит точки множества D( f ). Тогда 
.
Описанная в
теореме ситуация называется «отсутствием неопределенности». В этом случае
вычисление предела сводится к нахождению значения функции в соответствующей
точке.
Пример 1. Найти 
.
Решение. □ Функция 
является элементарной,
точка a = 1 – неизолированная точка ее области определения, поэтому, согласно
теореме 1,
. ■
Однако так
просто получается не всегда. Рассмотрим следующий пример, также относящийся к
категории «отсутствие неопределенности».
Пример 2. f(x) = 2x при x ≠ 1 и
0 при x = 1. Найти 
.
Решение. □ Применить теорему 1 в данном случае не удастся. Поэтому
придется искать предел функции f(x) при x, стремящемся к a = 1, пользуясь определением. Наиболее
удобно пользоваться определением по Гейне, так как для того, чтобы
воспользоваться определением по Коши, необходимо сначала догадаться до ответа,
что зачастую бывает трудно.
Итак, возьмем
любую последовательность {xn}, такую что она сходится к a = 1 и для всех n xn из D(f) и xn ≠ a. Тогда, учитывая, что все xn ≠ 1, будем иметь 
, согласно свойствам предела последовательности и так как xn → 1.
Поэтому, согласно определению 1б, 
. Заметим, что здесь 
. ■
1 Вычисление
односторонних пределов
Пример 3. f(x) = (–1)
при x < 0 и 1 при x > 0. Найти 
.
Решение. □ Для отыскания предела этой функции воспользуемся
определением по Гейне. Возьмем любую последовательность {xn}, такую что xn → 0 и все xn из D(f) и xn < 0. Тогда будем иметь: f(xn) = (–1) → (–1). Это означает, что 
. ■
Пример 4. f(x) = (–1)
при x < 0 и 1 при x > 0. Найти 
.
Решение. □ Для отыскания предела этой функции воспользуемся
определением по Гейне. Возьмем любую последовательность {xn}, такую что xn → 0 и все xn из D(f) и xn > 0. Тогда будем иметь: f(xn) = 1 → 1. Это означает, что 
. ■
Пример 5. f(x) = 1/x.
Найти .
Решение. □ Для отыскания предела этой функции воспользуемся
определением по Гейне. Возьмем любую последовательность {xn}, такую что xn → 0 и все xn из D(f) и xn < 0. Тогда, согласно свойствам бесконечно
большой последовательности, будем иметь: f(xn) = 1/xn – бесконечно большая последовательность отрицательного знака. Это
означает, что 
. ■
Пример 6. f(x) = 1/x.
Найти .
Решение. □ Для отыскания предела этой функции воспользуемся
определением по Гейне. Возьмем любую последовательность {xn}, такую что xn → 0 и все xn из D(f) и xn > 0. Тогда, согласно свойствам бесконечно
большой последовательности, будем иметь: f(xn) = 1/xn – бесконечно большая последовательность положительного знака. Это
означает, что 
. ■
Пример 7. 
. Найти 
.
Решение. □ Для отыскания предела этой функции воспользуемся
определением по Гейне. Возьмем любую последовательность {xn}, такую что xn → 2 и все xn из D(f) и xn < 2. Тогда будем иметь: 2 – xn = g(xn) → 0, причем g(xn) > 0 для всех n, поэтому, согласно свойствам бесконечно
большой последовательности, 1/g(xn) = h(xn) – бесконечно большая последовательность положительного
знака, кроме того, 7 > 1, поэтому 
– бесконечно большая
последовательность положительного знака. Это означает, что 
. ■
Пример 8. . Найти 
.
Решение. □ Для отыскания предела этой функции воспользуемся
определением по Гейне. Возьмем любую последовательность {xn}, такую что xn → 2 и все xn из D(f) и xn > 2. Тогда будем иметь: 2 – xn = g(xn) → 0, причем g(xn) < 0 для всех n, поэтому, согласно свойствам бесконечно
большой последовательности, 1/g(xn) = h(xn) – бесконечно большая последовательность
отрицательного знака, кроме того, 7 > 1, поэтому 
. Это означает, что 
. ■
Пример 9*. 
. Найти а) и б) .
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
Это означает,
что 
.
б)
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
Это означает,
что . ■
К односторонним
пределам относятся также пределы при x → –∞ и x → +∞.
Теорема 2 (приводится без доказательства).
1а) Пусть
для некоторого δ 
. Тогда существование
предела 
равносильно
существованию равных друг другу односторонних пределов 
и 
.
1б) Пусть
для некоторого δ . Тогда ситуации
, ,
равносильны ситуациям
соответственно.
2а) Пусть
для некоторого δ 
. Тогда существование предела 
равносильно
существованию равных друг другу односторонних пределов 
и 
.
2б) Пусть
для некоторого δ . Тогда ситуации
, ,
равносильны ситуациям
соответственно.
2 Раскрытие
неопределенностей вида [∞ – ∞], [∞/∞] при x → ∞
Рассмотрим
примеры с неопределенностью вида [∞ – ∞] при x → ∞.
Пример 10. Найти 
.
Решение. □ Для отыскания предела этой функции 
воспользуемся
определением по Гейне.
Возьмем любую
последовательность {xn}, такую что xn → +∞ (xn > 0) и все xn из D(f). Тогда, согласно свойствам предела
последовательности и свойствам бесконечно большой последовательности, будем иметь 
и 
, то есть предел последовательности 
представляет собой
неопределенность [(+∞) – (+∞)]. Прием (алгоритм действий)
в подобных случаях следующий: нужно вынести за скобки наибольшую степень xn (данная операция допустима, так как xn ≠ 0). Тогда получим:
,
но, согласно свойствам предела
последовательности, 
, поэтому
,
поэтому 
. То есть .
В дальнейшем для
сокращения записи будем использовать следующее оформление данного решения:
. ■
Пример 11. Найти 
.
Решение. □ Данный пример не относится к разряду неопределенностей,
однако изложенный в примере 10 прием работает и здесь:
. ■
Резюмируя
результаты примеров 10 и 11, можно, согласно соответствующему определению,
записать 
.
Теперь
рассмотрим примеры с неопределенностью вида [∞/∞] при x → ∞.
Пример 12. Найти 
.
Решение. □ В данном случае по аналогии с примером 11 имеем: 
и 
, то есть искомый
предел представляет собой неопределенность [(+∞)/(+∞)]. Прием
(алгоритм действий) в подобных случаях следующий: нужно вынести за скобки наибольшую
степень x в числителе и наибольшую степень x
в знаменателе (данные операции допустимы – см. пример 10, также как и
дальнейшее сокращение вынесенных степеней). Здесь эти степени совпадают и равны
2, поэтому выражение, предел которого мы ищем, преобразуется следующим образом:
, (*)
затем, 
и 
, поэтому, согласно свойствам предела функции,
.
Заметим здесь,
что несмотря на равенство (*), верное при всех ненулевых x из области определения
исходной функции, в результате преобразований получается функция, отличная от
исходной (отличие состоит в том, что результирующая функция не определена в
точке x = 0), хотя имеющая тот же предел при x → –∞. ■
Пример 13. Найти 
.
Решение. □ Имеем: 
и , то есть искомый
предел представляет собой неопределенность [(+∞)/(+∞)]. Алгоритм
действий в данном случае тот же. Здесь наибольшая степень x
в числителе есть 1, наибольшая степень x в знаменателе есть 2, поэтому выражение,
предел которого мы ищем, преобразуется следующим образом:
,
поэтому, согласно свойствам предела функции,
. ■
Пример 14. Найти 
.
Решение. □ Имеем: и 
, то есть искомый
предел представляет собой неопределенность [(+∞)/(+∞)]. Алгоритм
действий в данном случае тот же. Здесь наибольшая степень x
в числителе есть 2, наибольшая степень x в знаменателе есть 1, поэтому выражение,
предел которого мы ищем, преобразуется следующим образом:
,
поэтому, согласно свойствам предела функции и (!) свойствам бесконечно
большой функции,
. ■
Если решения
предыдущих примеров понятны читателю и кажутся слишком простыми, то можно
переходить к следующему примеру.
Пример 15*. Найти 
.
Решение. □ Здесь достаточно долго выяснять, куда стремится числитель
и куда стремится знаменатель, однако, в этом, на самом деле, нет необходимости.
Потому что алгоритм, изложенный в примере 12, работает и здесь. При этом сразу
определить наибольшую степень x в числителе и наибольшую степень x
в знаменателе тут не слишком просто, поэтому действовать будем следующим
образом. Нет необходимости раскрывать все скобки и сотую степень – это
трудоемкая, но безрезультатная процедура. Поступим так. Сначала вынесем за
скобки наибольшую степень x в каждом выражении, где это наиболее просто:
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
. ■
3 Раскрытие
неопределенностей вида [0/0] при x → a
Рассмотрим
примеры с неопределенностью вида [0/0] при x → a.
Пример 16. Найти 
.
Решение. □ Имеем:
, 
,
то есть искомый предел представляет
собой неопределенность [0/0] при x → a = 1. Прием (алгоритм действий) в подобных случаях следующий:
нужно выделить наибольшую степень сомножителя (x – a) = (x – 1) из числителя и наибольшую степень сомножителя (x – a) из знаменателя. Наиболее быстро это можно
сделать путем последовательного деления столбиком числителя и знаменателя на (x – 1) до тех пор, пока
не получатся многочлены, корнем которых x = 1 не является. При этом в процессе реализации алгоритма деления столбиком
нужно помнить, что выписывать следует последовательно все степени x в соответствующих
многочленах, используя коэффициент «ноль» при необходимости.
Итак,
последовательно делим числитель:
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
Многочлен 
не имеет корня x = 1. То есть выделение
завершилось и
.
Далее
последовательно делим знаменатель:
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
Многочлен 
не имеет корня x = 1. То есть выделение
завершилось и
.
Теперь преобразуем
выражение, предел которого ищем, учитывая, что точка x = 1 не входит в область
его определения:
.
Таким образом, несмотря на
последнее равенство, верное при всех x ≠ 1 из области определения исходной функции, в
результате преобразований получается функция, отличная от исходной (отличие
состоит в том, что результирующая функция уже определена в точке x = 1), хотя имеющая тот же предел при x → 1, равный, согласно пункту 0 пособия,
.
Это и есть ответ.
Заметим здесь,
что информация о том, что
,
– избыточна и бесполезна, как и последующая
операция сокращения числителя и знаменателя на . Так как получение такой информации требует выполнения
дополнительных (зачастую трудоемких) действий, а сама информация не приносит
ощутимого результата. В этом смысле алгоритм раскрытия неопределенности [0/0],
сформулированный в виде «следует разложить многочлены в числителе и знаменателе
на множители», представляется автору непродуктивным/неэффективным (по сравнению
с только что изложенным), хотя и применяется именно в такой форме в некоторых
учебниках. ■
Пример 17. Найти 
.
Решение. □ Имеем:
, 
,
то есть искомый предел представляет
собой неопределенность [0/0] при x → 1. Алгоритм действий в данном случае тот же.
Путем
последовательного деления числителя получаем (см. пример 16):
.
Путем последовательного деления
знаменателя получаем (см. пример 16):
.
Теперь преобразуем выражение,
предел которого ищем, учитывая, что точка x = 1 не входит в область его определения:
,
поэтому, согласно свойствам предела функции,
. ■
Пример 18. Найти 
.
Решение. □ Имеем:
, ,
то есть искомый предел представляет
собой неопределенность [0/0] при x → 1. Алгоритм действий в данном случае тот же.
Путем
последовательного деления числителя получаем (см. пример 16):
.
Путем последовательного деления
знаменателя получаем (см. пример 16):
.
Теперь преобразуем выражение,
предел которого ищем, учитывая, что точка x = 1 не входит в область его определения:
.
Затем,
, 
,
поэтому, согласно свойствам предела функции и свойствам бесконечно
большой функции,
. ■
4 Раскрытие
неопределенностей с иррациональностями
Пример 19. Найти 
.
Решение. □ Имеем: 
и 
, то есть искомый
предел представляет собой неопределенность [0/0]. Прием (алгоритм действий) в
данном случае следующий: домножим числитель и знаменатель дроби, предел которой
мы ищем, на выражение 
(сопряженное к
выражению 
). Тогда дробь, предел которой мы ищем, учитывая ее область
определения, преобразуется следующим образом:
,
поэтому
. ■
Пример 20. Найти 
.
Решение. □ Имеем: 
и 
, то есть искомый
предел представляет собой неопределенность [0/0]. Творческий прием в данном
случае следующий: введем новую переменную 
. Здесь принципиально важно отметить, что переход именно к
такой новой переменной в данном случае допустим в силу справедливости теоремы
0г о пределе сложной функции (см. второе замечание к ней). Тогда 
и
,
поэтому
.
Таким образом
исходный предел сводится к пределу, алгоритм вычисления которого был подробно
изложен в пункте 3 пособия. Довести решение до конца автор предлагает читателю
в качестве упражнения. ■
Пример 21. Найти 
.
Решение. □ Имеем: 
и 
, то есть искомый
предел представляет собой неопределенность [0/0]. Прием (алгоритм действий) в
данном случае следующий: домножим числитель и знаменатель дроби, предел которой
мы ищем, на выражение 
(сопряженное к
выражению 
) и на выражение 
(сопряженное к
выражению 
). Тогда дробь, предел которой мы ищем, учитывая, что точка x = 0 не входит в область
ее определения, преобразуется следующим образом:
,
поэтому
. ■
Пример 22. Найти 
.
Решение. □ Способ 1. Имеем:
, 
,
то есть искомый предел представляет
собой неопределенность [0/0]. Прием (алгоритм действий) в данном случае
следующий:
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
.
Способ 2
(творческий). Имеем:
, ,
то есть искомый предел представляет
собой неопределенность [0/0]. Заметим, что дробь, предел которой мы ищем,
учитывая область ее определения, можно преобразовать следующим образом:
(здесь x, такие что 
, не входят в область определения дроби)
,
поэтому
Существует и еще один способ нахождения предела из
данной задачи – способ, который гораздо быстрее и в то же время гораздо проще
приводит к ответу (см. пример 48 в пункте 5 пособия). ■
Пример 23. Найти 
.
Решение. □ Имеем: 
и 
, поэтому, согласно свойствам бесконечно большой
функции, искомый предел представляет
собой неопределенность [(+∞) ‑ (+∞)]. Прием
(алгоритм действий) в данном случае следующий: домножим и разделим выражение,
предел которого мы ищем, на сопряженное выражение 
. Тогда выражение, предел которого мы ищем, учитывая его
область определения, преобразуется следующим образом:
,
поэтому
.
Таким образом
исходный предел сводится к пределу, к которому применим алгоритм вычисления,
подробно изложенный в пункте 2 пособия. Довести решение до конца автор
предлагает читателю в качестве упражнения. ■
Пример 24*. Показать, что не существует 
.
5 Применение
эквивалентностей (в т. ч. к раскрытию неопределенностей вида [1∞])
Изложим
необходимые определения и приведем важные теоремы.
Определение 25. Ситуацию 
будем называть так:
«функция β(x)
является бесконечно малой при x, стремящемся к a».
Указанное
определение аналогично формулируется в любом из следующих случаев: , , , , .
Определение 26. Ситуацию «функции β(x) и β1(x)
являются бесконечно малыми при x, стремящемся к a, и 
» будем называть так: «функции β(x) и β1(x)
являются эквивалентными бесконечно малыми при x, стремящемся к a» – и обозначать так: 
.
Указанное
определение аналогично формулируется в любом из следующих случаев: , , , , .
Теорема 3 (приводится без доказательства).
0) 
,
1а) 
, 1б) 
,
2а) 
, 2б) 
, 2в) 
,
3а) 
, 3б) 
,
4а) 
, 4б) 
, 4в) 
,
5а) 
, 5б) 
, 5в) 
,
5г) 
,
6а) 
, 6б) 
, 6в) 
,
7а) 
, 7б) 
, 7в) 
,
8а) 
, 8б) 
. 8в) 
.
Теорема 4 (приводится без доказательства).
Пусть и 
и существует 
. Тогда существует и 
, причем
.
Указанная
теорема аналогично формулируется в любом из следующих случаев: , , , , .
То есть при
вычислении предела отношения бесконечно малых допустимо заменять их на эквивалентные
им.
Пример 25. Найти 
.
Решение. □ Имеем: 
, поэтому 
(см. пункт 4а теоремы 3),
кроме того, (см. пункт 0 теоремы 3)
и существует 
(см. пункт 3 пособия),
поэтому, согласно теореме 4,
. ■
Пример 26. Найти 
.
Решение. □ Имеем: 
, поэтому 
(см. пункт 4а теоремы 3),
кроме того, , поэтому 
(см. пункт 6а теоремы 3),
поэтому, согласно теореме 4,
,
причем предпоследний предел здесь
существует и равен 7/3, так как существует и равен 7/3 последний предел.
■
Пример 27. Найти 
.
Решение. □ Согласно свойствам предела функции,
.
Далее, (см. пункт 7а теоремы 3),
кроме того, (см. пункт 0 теоремы 3),
поэтому, согласно теореме 4,
,
а
. ■
Пример 28. Найти 
.
Решение. □ Имеем:
.
Далее, (см. пункт 0 теоремы 3),
кроме того, 
, поэтому 
(см. пункт 6а теоремы 3),
поэтому, согласно теореме 4,
,
то есть
. ■
Пример 29. Найти 
.
Решение. □ Вычитая и добавляя единицу около 
, получаем:
.
Далее, 
, поэтому 
(см. пункт 5б теоремы 3),
кроме того, 
, поэтому 
(см. пункт 0 теоремы 3),
поэтому, согласно теореме 4,
. ■
В дальнейшем
будем пользоваться следующим полезным приемом, который приведем без
доказательства. Если в числителе и знаменателе функции, предел которой требуется
найти, стоят композиции бесконечно малых, то при вычислении предела допустимо
заменить все бесконечно малые на эквивалентные им многочлены, лишь бы в
линейных комбинациях бесконечно малые были заменены на многочлены одинаковой
степени И многочлены, получающиеся в результате упрощения в числителе и
знаменателе, были отличны от тождественного нуля.
Пример 30. Найти 
, где 
.
Решение. □ Здесь также нужно одновременно вычесть и добавить единицу
около каждого из косинусов, тогда получим:
.
Далее, чтобы не получить в качестве
результирующего многочлена в числителе тождественный ноль, воспользуемся для обоих
косинусов формулой пункта 5б теоремы 3, то есть, учитывая, что 
и 
, заменим 
на 
, а 
на 
. Тогда получим:
. ■
Пример 31. Найти 
, где 
.
Решение. □ Имеем:
.
Далее, учитывая, что 
и 
, заменим 
на 
(см. пункт 2а теоремы 3), а 
на 
, тогда
. ■
Пример 32. Найти 
.
Решение. □ Имеем: , поэтому 
(см. пункт 8а теоремы 3),
, поэтому 
(см. пункт 7а теоремы 3),
кроме того, 
, поэтому 
(см. пункт 4а теоремы 3).
Таким образом,
. ■
Пример 33. Найти 
.
Решение. □ Имеем: , поэтому 
(см. пункт 2а теоремы 3),
кроме того, 
, поэтому 
(см. пункт 8а теоремы 3),
поэтому
. ■
Пример 34. Найти 
.
Решение. □ Имеем: 
(см. пункт 6в теоремы 3)
и 
(см. пункт 4в теоремы 3),
поэтому
. ■
Пример 35. Найти 
.
Решение. □ Имеем: (см. пункт 4в теоремы 3)
и (см. пункт 6в теоремы 3),
поэтому
. ■
Пример 36. Найти 
.
Решение. □ Имеем:
.
Далее, (см. пункт 2а теоремы 3),
, поэтому 
, кроме того, (см. пункт 3а теоремы 3),
поэтому
. ■
Пример 37. Найти 
.
Решение. □ В подобных случаях сначала необходимо привести функцию, предел
которой требуется найти, к виду дроби. В нашем случае имеем:
.
Далее заменим 
на 
(см. пункт 6в теоремы 3),
а 
на 
(см. пункт 4в теоремы 3).
Тогда получим:
.
Теперь видно,
что для решения данной задачи бесконечно малые в знаменателе дроби, предел
которой требовалось найти, на самом деле достаточно было заменить на многочлены
только первой степени: (см. пункт 6а теоремы 3),
(см. пункт 4а теоремы 3).
Выполнив указанные замены, получили бы
. ■
Однако сразу
заметить нечто подобное бывает не совсем легко. Поэтому автор советует
поступать следующим образом: вначале нужно решить задачу на черновике, заменив
бесконечно малые на многочлены как можно более высокой степени – после этого
станет видно, какие из бесконечно малых можно было заменить на многочлены более
низкой степени, а затем оформить на чистовик решение, в котором каждая из
бесконечно малых заменяется на многочлен наиболее низкой подходящей степени.
Пример 38. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 39. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 40. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 41. Найти 
.
Решение. □ Имеем: 
, поэтому 
(см. пункт 4в теоремы 3)
и 
(см. пункт 6в теоремы 3),
поэтому
. ■
Пример 42. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 43. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 44. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 45. Найти 
.
Решение. □ Имеем: (см. пункт 2в теоремы 3),
, поэтому 
, кроме того, (см. пункт 4в теоремы 3),
поэтому
. ■
Пример 46. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 47. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 48. Найти .
Решение. □ Преобразуем функцию, предел которой требуется найти,
следующим образом:
.
Далее, , поэтому 
(см. пункт 1а теоремы 3)
и 
, кроме того, 
, поэтому 
и 
, поэтому
. ■
Как показывает
пример 48, эквивалентности можно эффективно применять и для раскрытия
неопределенностей с иррациональностями. При этом если требуется найти предел,
представляющий собой неопределенность с иррациональностями, при или , то, так как, согласно определению, x ≠ 0,
вводят новую переменную 
, тогда 
и 
соответственно, то
есть исходный предел принимает по новой переменной вид одностороннего предела
при 
и 
соответственно (о
вычислении пределов такого вида см. пункт 1 пособия). Здесь также принципиально
важно отметить, что переход именно к такой новой переменной допустим в силу
справедливости теоремы 0г о пределе сложной функции (см. второе замечание к
ней).
Пример 49. Найти 
.
Решение. □ Имеем:
.
Далее, и , поэтому 
(см. пункт 5б теоремы 3)
и 
, поэтому 
и 
, но 
и 
, поэтому 
(см. пункт 3а теоремы 3) и 
. Таким образом,
. ■
Пример 50. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 51. Найти 
.
Решение. □ Здесь 
и 
(см. пункт 2 пособия),
то есть искомый предел представляет собой неопределенность [1∞].
Прием (алгоритм действий) в подобных случаях следующий.
Способ 1
(классический). Преобразуем функцию, предел которой требуется найти, следующим
образом (добавив и вычтя единицу в основании степени, а затем разделив и
домножив показатель степени на основание степени без единицы):
.
Далее, 
, поэтому 
, согласно теореме, которая имеет название «второй
замечательный предел», и теореме о пределе сложной функции, кроме того, 
, поэтому, согласно все той же теореме о пределе сложной
функции (подробное обоснование весьма объемно, в общем виде оно приведено в [1,
гл.4, §§7, пп.20–30]),
.
Способ 2. Согласно
определению, здесь x ≠ 0. Поэтому введем новую переменную (отметим, что переход
к такой новой переменной в данном случае допустим в силу справедливости теоремы
0г о пределе сложной функции), тогда 
и
.
Далее функцию нужно преобразовать
следующим образом:
.
Затем, 
(см. пункт 0 пособия), поэтому 
(см. пункт 3а теоремы 3) и
.
Таким образом,
,
причем последний предел, согласно теореме 1, равен
. ■
Пример 52. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 53. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 54. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 55. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 56. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 57*. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 58*. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
6 Применение
формулы Тейлора
Определение 27. Ситуацию «
и 
» будем обозначать так: 
.
Указанное
определение аналогично формулируется в любом из следующих случаев: , , , , .
Теорема 5 (разложение основных функций по формуле
Тейлора с остаточным членом в форме Пеано) (приводится без доказательства).
При 
имеем:
1) 
, где 
,
2) 
,
3) 
,
4а) 
, 4б) 
,
5а) 
, 5б) 
,
6) 
,
7а) 
, где 
,
7б) 
,
8а) 
, 8б) 
.
Можно заметить,
что формулы теоремы 3 вытекают из формул теоремы 5. Приемы и методика
применения формул теоремы 5 к вычислению предела функции аналогичны таковым из
пункта 5 пособия и позволяют справиться с более сложными задачами. При этом
работа с указанными формулами сводится к выполнению всевозможных алгебраических
операций над o-малыми, что, в свою очередь, осуществляется
без всяких проблем при знании определения 27 и свойств предела функции,
изложенных в теореме 0б.
Пример 59. Найти 
.
Решение. □ 1. Преобразуем выражение 
в знаменателе. Оставим в выражении минимальное
количество слагаемых (но так, чтобы все выражение не обратилось в o-малое),
то есть одно. Имеем:
.
2. Преобразуем выражение 
в числителе. Принимая
во внимание результат пункта 1 решения, при преобразовании будем сохранять
степени x до второй включительно. Имеем: 
(см. пункт 5а теоремы
5), поэтому
.
Далее применим формулу из пункта 1
теоремы 5 с n = 1, тогда получим:
,
пусть 
и 
, тогда 
,
,
.
Окончательно
имеем:
,
, поэтому
. ■
Пример 60. Найти 
.
Решение. □ Здесь под знаком предела знаменатель представляет собой
четвертую степень x, поэтому для вычисления предела при
использовании разложений для сомножителей второго слагаемого числителя
необходимо и достаточно будет учитывать степени x только до четвертой включительно. Имеем: 
(см. пункт 5а теоремы
5). Применяя пункт 1 теоремы 5 с n = 2, получаем:
.
Таким образом,
,
пусть и , тогда
. ■
Пример 61. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 62. Найти 
.
Решение. □
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Пример 63*. Найти 
.
Решение. □ Здесь под знаком предела первый сомножитель представляет
собой пятую степень x в знаменателе, поэтому самым естественным
пожеланием в данном случае будет разложение функций 
и 
из второго сомножителя
до 
(меньшего количества
слагаемых будет недостаточно для вычисления предела, а большее количество
слагаемых будет избыточно). Для того, чтобы разложить функцию до , сначала потребуется разложить внутренний до , а затем внешний синус до третьего слагаемого включительно.
Для того, чтобы разложить функцию до , достаточно будет разложить функцию 
до 
.
Данная книга опубликована
издательством Palmarium Academic Publishing в 2012 году.
■
Применение формулы
Тейлора является одним из наиболее простых/эффективных (при прочих равных условиях)
в реализации и наиболее универсальных методов вычисления предела функции. Поэтому,
если задачу не требуется решить каким-то конкретно указанным методом, автор
рекомендует пользоваться именно применением формулы Тейлора.
Литература
1 Ильин, В. А.; Позняк, Э. Г. Основы
математического анализа : В 2-х ч. Ч. 1. – М. : Физматлит, 2001.
2 Сборник
задач по математике для ВТУЗов : В 4-х ч. Ч. 2 : Учеб. пособие для втузов
/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, С. М. Коган и
др. Под общ. ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. – М. :
Физматлит, 2004.
3 Бобылева, Л. В.;
Брюхина, Л. С.; Казача, Г. С. Практикум по математическому анализу. Ч. 1. – Д. : Ун-т «Дубна»,
1997.
4 Сборник
задач по математике для ВТУЗов : В 4-х ч. Ч. 2. Специальные разделы
математического анализа : Учеб. пособие для втузов / В. А. Болгов,
А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин и др. Под общ. ред. А. В. Ефимова,
Б. П. Демидовича. – М. : Наука. Физматлит, 1995.
Содержание
Обозначения
Предисловие
Определение
предела функции. Основные теоремы
Приемы/алгоритмы
вычисления предела функции и раскрытия неопределенностей
0 Случай
отсутствия неопределенности
1 Вычисление
односторонних пределов
2 Раскрытие
неопределенностей вида [∞ – ∞], [∞/∞] при x → ∞
3 Раскрытие
неопределенностей вида [0/0] при x → a
4 Раскрытие
неопределенностей с иррациональностями
5 Применение
эквивалентностей
(в т. ч. к
раскрытию неопределенностей вида [1∞])
6 Применение
формулы Тейлора
Литература
