Барминский А. В. Определения – теоремы, алгоритмы – творчество // Вестник Санкт-Петербургского университета, Сер. 12. 2012. Вып. 4. С. 18–23

В работе подчеркивается значимость в обучении понимания разницы между содержательными математическими предложениями типа «определения» и типа «теоремы», а также разницы между математическими задачами «алгоритмического» типа и «творческого» типа. Излагаются некоторые наблюдения, которые, с точки зрения автора, помогают сделать изложение математики более систематизированным и упорядоченным, создать у обучающихся чувство осознанности переданного им «математического знания».

Ключевые слова: обучение, усвоение, математика, философия, когнитивная психология, определение, теорема, алгоритм, творчество.

 

УДК 159.953.5

 

А. В. Барминский

 

Определения – теоремы, алгоритмы – творчество

 

Введение

С введением в России единого государственного экзамена начались и не прекращаются споры об эффективности, объективности и прочих качествах данной формы проверки знаний и умений выпускников школ. Не прекращаются споры о том, способен ли данный экзамен отличить понимание от заученности. Не прекращаются споры о том, способен ли данный экзамен выявить одаренность. Не прекращаются споры о том, чему учить и как учить в школе или в ВУЗе.

Некоторое время назад автор трудился преподавателем ВУЗа, проводя курсы дисциплин раздела «Высшая математика» для весьма способных студентов. В процессе работы автор подметил некоторые затруднения в освоении материала, которые не были обусловлены какими-либо объективными факторами. Нередко автор как преподаватель слышал от своих учеников вопрос «почему?» там, где этот вопрос бессмыслен, или там, где ответить на него невозможно. Автор пожелал разобраться в том, что является глубинной причиной этих вопросов со стороны обучающихся, и, кажется, нашел путь, дорога по которому приводит к первопричинам.

С точки зрения автора, понятия «понимание» и «заученность» проистекают именно из того, что существует разница между определяемым и доказываемым. Понятие «одаренность» проистекает именно из того, что существует разница между алгоритмическим и творческим. Эти мысли привели автора к формулировке фундаментальной гипотезы о том, что отчетливое осознание одновременно преподавателем и обучающимся разницы между определением и теоремой, между алгоритмом и творчеством есть наиболее эффективная педагогическая методика преподавания и освоения математики.

Позиция акцента именно на разнице между определяемым и доказываемым и акцента именно на разнице между алгоритмическим и творческим видится автору до сих пор никем в достаточной мере не затронутой. Статей, в которых бы указывалось, что могут (или не могут) дать указанные акценты для педагогики, автору не встретилось. Кроме того, в процессе педагогической деятельности автор убедился, что указанная позиция акцентов не являла собой для коллег нечто, само собой разумеющееся. Причину отсутствия масштабных исследований автор видит в объективной сложности данного направления, находящегося на стыке математики, философии и когнитивной психологии. Вместе с тем, автору кажется, что важность исследований в данном направлении недооценена.

Некоторые из наблюдений, сделанные автором на пути реализации собственного исследования, изложены в данной работе. Автор надеется, что текущие наработки внесут полезное усовершенствование в концепцию преподавания и изучения, особенно в преподавание и изучение высшей математики в высших учебных заведениях. Автор надеется, что некоторые стадии исследования породят ответвления, независимая теоретическая и практическая разработка которых может привести к практически значимым результатам в смежных областях: математике, философии, психологии. Автору кажется, что как положительный, так и отрицательный результат проводимого им исследования сформирует универсальную базу для получения наиболее эффективных педагогических методик, особенно важных и необходимых сейчас в свете получающей распространение дистанционной формы образования. Положительный же результат исследования научно обоснует нащупанные автором ответы на вопросы, как выявить одаренных обучающихся и сохранить в них интерес к науке и как показать другим обучающимся, что они способны на большее, чем им кажется.

 

1. Определения – теоремы

Всякое содержательное предложение в математике относится либо к типу, который назовем «определения», либо к типу, который назовем «теоремы». Тип «определения» включает в себя как предложения, которые именуют непосредственно «определение», так и предложения, которые именуют «обозначение». Тип «теоремы» включает в себя как предложения, которые именуют непосредственно «теорема», так и предложения, которые именуют «лемма», «утверждение», «предложение», «следствие».

К типу «определения» относится предложения вида «Что-то будем обозначать символом таким-то» или «Ситуацию такую-то будем называть/обозначать так-то», например, следующее предложение: «Символ 1 будем называть "единица"», а также такое: «Единицу будем обозначать символом "1"» (это предложение можно озаглавить «обозначение»), и такое: «Ситуацию <логическая формула

 

                                    (1)

 

истинна для последовательности {a₁, a₂, …, a_n, …} в предметной области > будем называть/обозначать так: «последовательность {a₁, a₂, …, a_n, …} действительных чисел стремится к числу A»» (расшифровку значений использованных символов приводить здесь не будем, так как это не имеет принципиального значения для излагаемого). Естественно, если мы говорим «последовательность {a₁, a₂, …, a_n, …} действительных чисел стремится к числу A», то указанное определение подразумевает, что имеет место ситуация в угловых скобках.

К типу «теоремы» относятся логические формулы, истинные в некоторой предметной области, в частности, например, следующее предложение: «Логическая формула

 

                                                                   (2)

 

истинна в предметной области », которое можно озвучить/записать и так: «Пусть a и b — любые действительные числа, такие что a < b. Тогда (a + b)/2 принадлежит интервалу (a; b)». Во второй форме записи то, что стоит после слова «пусть» и до слова «тогда», называется «условиями теоремы», а то, что стоит после слова «тогда», называется «утверждением теоремы». На этом примере ясно, что опускать условия теоремы при ее формулировке недопустимо.

Принципиальная разница между предложениями типа «определения» и предложениями типа «теоремы» состоит в следующем. Для предложений типа «определения» лишен смысла вопрос обучающегося «почему?». Поэтому и пытаться понять их не нужно (это то же самое, что пытаться понять, например, почему дерево мы называем «дерево»), какие бы сложные выражения и диковинные слова в них ни участвовали. Предложения типа «определения» — это не более чем система понятий (словарь) математики, призванная сократить запись тех или иных ситуаций. Все, что необходимо обучающемуся, — это просто выучить их наизусть. На первом этапе этого достаточно. Осмысление же придет по мере привыкания.

Применительно к предложениям типа «теоремы» вопрос «почему?» не только осмыслен, но и желателен. Так как каждое предложение типа «теоремы» имеет доказательство, точнее, всякое предложение, имеющее доказательство, относится к предложению типа «теоремы». И именно доказательство служит ответом на вопрос обучающегося «почему?». Здесь, как обычно, возможны два случая: доказательство понятно тому, кому его излагают (в том смысле, что он согласен с каждым предложением доказательства), и не понятно. Во втором случае обучающемуся не остается ничего, кроме как поверить соответствующему предложению из типа «теоремы» и заучить его доказательство наизусть, если есть необходимость в умении его воспроизводить. Думается, что нет ничего неестественного и плохого в возникновении второго случая, так как с ним сталкивается каждый на той или иной глубине изучения математики. Не то что понять, а даже просто прочитать абсолютно все имеющиеся доказательства невозможно, поэтому без принятия на веру каких-либо предложений типа «теоремы» обойтись не удается (см. подробнее: [1, с. 328–330, 440–459]).

Подведем некоторый итог. Восприятие любого относящегося к математике текста упрощается, когда около каждого его содержательного предложения (то есть не имеющего, например, характер связующего элемента текста) указано, к какому из двух описанных типов оно относится. Как только эти указания пропадают, на сколько-нибудь адекватное понимание обучающимся соответствующего текста учителю (преподавателю) можно особо не рассчитывать, так как не исключаются попытки понять, например, выражения из определений наподобие вышенаписанной «страшной» логической формулы в определении с последовательностью. Поэтому в подобном случае учителю (преподавателю) важно восстановить все указания на типы предложений. Это можно сделать самостоятельно, но все же во избежание ошибок (иногда ситуации встречаются весьма и весьма трудные и неоднозначные) лучше проконсультироваться с правильным источником, в котором все такие указания присутствуют. При этом может случиться так, что придется разобраться в том, какую систему применяет автор того или иного учебника: среди двух взаимосвязанных предложений один автор оформит в виде определения первое предложение (а второе предложение будет выводиться из первого и называться теоремой), а другой автор может оформить в виде определения второе предложение.

 

2. Алгоритмы – творчество

В данном разделе будем работать в рамках класса разрешимых задач.

Каждую математическую задачу отнесем либо к «алгоритмическому» типу, либо к «творческому» типу. Такое разделение можно осуществить по-разному. Например, с точки зрения субъекта, которому известно решение некоторого множества задач, всякая задача, решение которой ему не известно, будет относиться к задачам «творческого» типа (субъективная классификация). Для наших целей разделение удобнее будет ввести иным образом — объективно.

Итак, предположим, что множество задач, решение которых известно обучающемуся, пусто. Задачей «алгоритмического» типа назовем такую, решение и получение ответа для которой осуществляется путем строгого применения готового алгоритма к данным задачи (входным данным). Причем применение алгоритма приводит к ответу независимо от конкретных значений входных данных, то есть для целой группы задач (хотя и формулируемых единообразно), описываемой множеством всех допустимых значений входных данных. Другими словами, задача «алгоритмического» типа — это «массовая» задача, а непосредственно «алгоритмом» называется общий способ/метод решения этой массовой задачи (см. подробнее: [1, с. 109–113]). К задачам «алгоритмического» типа относится, например, следующая: «Пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования, найти производную функции y = sin x в точке x = x₀». Вместо sin x здесь можно написать sin²x, применение алгоритма приведет к верному ответу и в таком случае. Остальные («точечные») задачи отнесем соответственно к задачам «творческого» типа. В качестве примера задачи «творческого» типа рассмотрим следующую задачу: «Найти функцию y = f(x), производная которой в каждой точке x = x₀ области определения равна sin x₀». Предположим, что обучающемуся удалось решить эту задачу. Тогда, если вместо sin x₀ написать sin²x₀, то для обучающегося это будет уже принципиально/качественно иная задача, и знание решения первой задачи никак не поможет решить вторую.

Видно, в чем заключается принципиальная разница между задачами «алгоритмического» типа и задачами «творческого» типа. Для того чтобы научить (научиться) получать ответ к какой-нибудь задаче «алгоритмического» типа, достаточно изложить (знать и уметь применять) алгоритм решения соответствующей массовой задачи. Научить же решать задачи «творческого» типа принципиально невозможно в силу их изложенной особенности. Так, изложение и даже разбор решения любого количества задач вида «Найти функцию y = f(x), производная которой в каждой точке x = x₀ области определения равна …», где вместо многоточия стоит что-либо, отличное от sin²x₀, формально не способно помочь обучающемуся решить ту самую задачу с sin²x₀. Для учителя (преподавателя) здесь возможны две ситуации. С одной стороны, можно изложить для заучивания наизусть решение непосредственно той самой задачи с sin²x₀, если знание ответа на нее или ее решения требуется, например, программой обучения. С другой стороны, и это самое странное и до сих пор не познанное, может случиться так, что обучающемуся вдруг придет в голову идея, как решить указанную задачу. Именно это и есть «результат процесса творческого мышления», «креативная идея», «открытие».

Очевидно, почему учителю (преподавателю) важно уметь отличать задачи «алгоритмического» типа от задач «творческого» типа при подготовке контрольных мероприятий любого вида. Если при вариации учителем (преподавателем) входных данных задачи «алгоритмического» типа выясняется неспособность обучающегося справиться с задачей, то это свидетельствует о том, что обучающийся не усвоил соответствующий алгоритм. Тогда как вариация входных данных задачи «творческого» типа всегда будет ставить обучающегося в тупик, что тем не менее в отношении обучающегося объективно свидетельствовать ни о чем не будет.

Для того чтобы подчеркнуть и закрепить контраст между применением алгоритма и творческим решением, автор предлагает читателям, помнящим, как они «брали производную» в школе, сравнить следующие два решения одной и той же задачи:

 

                               ,                                      (3)

 

                                     .                                            (4)

 

Если читатель понял то, что было изложено выше, то он без труда укажет, какое из приведенных решений основано на применении алгоритма, а какое является творческим и в чем это творчество заключается. Такому читателю станет совершенно очевидно, почему почти все обучаемые решают указанную задачу первым способом.

Подведем некоторый итог. Очевидно, что частое совершение открытий доступно не каждому. Поэтому автору данной работы разумным представляется исключение требования обучающего к обучающемуся научиться решать задачи «творческого» типа. Исключение такого требования не повлияет на эффективность обучения и восприятия материала, но уменьшит нагрузку на обучаемого. Однако не менее разумно оставить обучающемуся некоторые задачи «творческого» типа в качестве необязательных, для того чтобы у него оставалась возможность развивать свою способность творчески мыслить — самую полезную из способностей. Потому что истинная цель обучения математике именно в этом, а отнюдь не в желании заставить заучить много формул.

 

Заключение

Относительно математики существует множество мифов. Например, о том, что математика — это бессвязный набор абстрактных формул, что в математике все определено и все доказано, что математика на все способна, или даже о том, что математика — противоположность гуманитарному, философскому (попытки доступно развенчать многие мифы относительно математики и преодолеть барьер между математическим и гуманитарным предприняты в [1]). На самом деле, у математики гораздо больше общего с философией, чем кажется. Так, основа математики — есть область пересечения «математического знания» и философии. В этом смысле математика, вмещая в себя результаты познания мира и являясь частью духовной культуры, произрастает, берет начало в философии. Все великие математики являются философами, и без познаний в философии невозможно быть сколько-нибудь хорошим математиком и невозможно быть хорошим Учителем математики с педагогической точки зрения (см. подробнее: [1, с. 459–463]). Автор надеется, что данной работой ему удалось хотя бы немного приблизить читателя к этой мысли.

 

Автор желает выразить признательность рецензентам за внимательное прочтение рукописи и полезные замечания, а также своим Учителям Е. В. Чепурину, С. А. Панову, В.Н. Лившицу, В.И. Локтионову, М.Ю. Афанасьеву.

 

Литература

1. Успенский В. А. Апология математики: сборник статей. СПб.: Амфора. ТИД Амфора, 2009. 554 с.