Что отделяет тысячи лет истории от того, что мы называем современностью? Ответ на этот вопрос отнюдь не исчерпывается указанием на развитие науки и технологии. Отличительной чертой нашего времени, определяющей границу Нового времени, является овладение стратегией поведения в условиях риска, базирующейся на понимании того, что будущее – это не просто прихоть богов и что люди не бессильны перед природой. Пока человечество не перешло через эту границу, будущее оставалось зеркалом прошлого или мрачной вотчиной оракулов и предсказателей, монополизировавших «знания» об ожидаемых событиях.

В данной работе будет рассказано о плеяде мыслителей, чья замечательная проницательность помогла нам научиться ставить будущее на службу настоящему. Показав миру, как нужно понимать риск, измерять его и оценивать его последствия, они превратили деятельность в условиях риска в один из важнейших катализаторов прогресса современного западного общества. Их достижения изменили отношение к риску и направили страсть человека к игре и обогащению в русло экономического роста, подъема качества жизни и технологического прогресса. Эти первопроходцы выявили разумные основания для оптимизации поведения в условиях риска, что послужило причиной мощного толчка в развитии науки, создав современный мир скоростей, могущества, быстродействующих коммуникаций и финансовых хитросплетений. Их открытия относительно природы риска, искусства и науки выбора легли в основу современной рыночной экономики.

1 Истоки

Почему стратегия риска является исключительно современным понятием? Почему должны были пройти тысячелетия, прежде чем добравшееся до эпохи Возрождения человечество смогло пробиться через барьеры, стоящие на пути измерения риска и контроля над ним? Ответить на этот вопрос нелегко, но мы постараемся выделить главное.

С самого начала истории игра была популярным развлечением. Именно загадки азартной игры, а не глобальные вопросы о природе капитализма или проникновении в тайны грядущего подвигли мыслителей XVII века на революционный прорыв в сферу вероятностных закономерностей. Но до этого момента на протяжении всей истории люди заключали пари и играли в азартные игры, не используя известной нам системы оценки шансов выигрыша или проигрыша. Выбор стратегии игры носил исключительно интуитивный характер и не направлялся никакими предписаниями теории.

Заметим, что случайные игры следует отличать от игр, где имеет значение класс игры. В некоторых играх результат зависит только от случая, в других на него влияет класс игрока. Шансы – вероятность выигрыша – это всё, что вам нужно знать для участия в случайной игре, но этой информации недостаточно, чтобы предугадать, кто выиграет и кто проиграет, если исход игры зависит не только от везения, но и от класса игры.

Время является важнейшим фактором в игре. Риск и время – разные стороны одной медали, потому что, если бы не было завтра, не было бы и риска. Время преобразует риск, и природа риска скрывается за его горизонтом: будущее – это стол для игры. Роль времени возрастает, если решения необратимы. И такие решения часто приходится принимать на основе несовершенной информации. Необратимость постоянно довлеет над многими решениями. В таком случае, не следует ли нам воздерживаться от игры в надежде, что через некоторое время удача повернется к нам лицом? Решившись действовать, мы теряем право переждать до поступления новой информации. В этом смысле бездействие имеет свою цену. Чем больше степень неопределенности исхода, тем ценнее может оказаться возможность отложить действие на потом.

Почему же древним грекам с их склонностью к игре, математическими способностями, логическим мышлением и страстью к доказательствам не удалось изобрести теорию вероятностей? Это тем более удивительно, потому как к тому времени это была единственная цивилизация, относительно свободная от доминирования жречества, монополизировавшего связь с тайными силами. Однако склонные к теоретическому осмыслению мира греки мало интересовались применением теории к какой бы то ни было технологии, которая могла бы изменить их представления о возможности воздействовать на будущее. Поклонение богам было единственной формой управления риском, которая привлекала их внимание. Но самое главное, грекам недоставало системы счисления, которая позволила бы им считать, вместо того чтобы просто фиксировать результаты своей деятельности.

Однако нельзя сказать, что греки не размышляли о природе вероятности. Правдоподобие для греков – не то же самое, что истина. Для них истина – это то, что можно доказать с помощью логики и аксиом. Их настойчивое требование доказательств противопоставляет истину эмпирике эксперимента. Еще несколько тысяч лет после этого раздумья об играх и игра оставались разными видами деятельности.

Вообще-то греки понимали, что в будущем может произойти больше вещей, чем произойдет на самом деле. Они отмечали, что естественные науки – это, используя терминологию Платона, «науки о возможном». Однако хотя Аристотель утверждал, что люди должны принимать решения на основе «желаний и рассуждений, направленных к какой-либо цели», он не дал рецептов определения вероятности успешного исхода. Греческие трагедии рассказывают историю за историей о беспомощности человека в тисках безликого рока. Когда греки хотели узнать, что может принести им завтрашний день, они обращались не к своим мудрым философам, а к оракулам.

Таким образом, прежде чем наука смогла включить понятие риска в культуру, должно было измениться отношение не к настоящему, а к будущему.

До эпохи Возрождения люди воспринимали будущее как нечто мало отличающееся от случайности или как результат беспорядочных изменений и большую часть решений принимали инстинктивно. Когда условия жизни так тесно связаны с природой, мало что остается под контролем человека. Зависимость от внешнего мира сводит интересы людей к основным функциям выживания. Когда христианское учение получило распространение в западном мире, воля единого Бога стала проводником в будущее. Это привело к серьезному сдвигу в миропонимании: будущая жизнь на земле оставалась тайной, но теперь она была предопределена силой, чьи влияние и принципы были ясны каждому, кто взял на себя труд ознакомиться с ними. С тех пор как представления о будущем стали предметом морали и веры, оно перестало казаться таким непостижимым, как прежде, но, тем не менее еще не позволяло строить какие-либо математические прогнозы. Ранние христиане ограничивались в своих пророчествах тем, что будет в загробной жизни, хотя и молили Бога повлиять на события в этом мире в свою пользу.

Затем Запад столкнулся с цивилизацией арабов, в руках которых индийские числа превратились в математические инструменты измерения в астрономии, навигации и коммерции. Потом новая система счисления заменила примитивные счеты вычислениями на бумаге. Письменные вычисления стимулировали абстрактное мышление, открыв путь развитию неизвестных в прошлом разделов математики.

Почему же тогда арабы со своими выдающимися математическими достижениями не смогли приблизиться к созданию теории вероятностей и управления риском? Возможно, это обусловлено их образом жизни. Кто определяет наше будущее: судьба, боги или мы сами? Идея управления риском возникает только тогда, когда люди начинают верить в то, что они обладают некоторой степенью свободы. Подобно грекам и ранним христианам, склонные к фатализму мусульмане еще не были готовы к этому.

Изучение проблемы риска впервые стало возможно в эпоху Возрождения и во время Реформации. Теперь тайна перенесена на Небеса. А на земле люди ведут свободную человеческую жизнь. Они уважают все связанное с божественными проявлениями, но ни в коем случае не подавлены ими – черта, вновь и вновь воспроизводимая в искусстве эпохи Возрождения. Понятия бережливости и воздержания, характерные для протестантской этики, свидетельствуют о том, что будущее стало важнее настоящего. Изменяя отношение к выбору и решениям, люди постепенно начинают понимать, что будущее столь же опасно, сколь и благоприятно.

2 Эпоха Возрождения

Первую попытку теоретического осмысления случайности в эпоху Возрождения следует отнести к 1494 году, когда появился труд монаха Луки Пачоли (Pacioli) (ок. 1445 – 1514 или 1517) «Книга об арифметике, геометрии и пропорциях» («Summa de arithmetic, geometria et proportionality»). В тексте этого труда он предложил следующую задачу. A и B играли в мяч. Они договорились играть, пока один из них не выиграет четыре матча. Игра прекратилась после первого матча, который выиграл игрок B. Как поделить банк? В течение XVI и XVII столетий математики вновь и вновь обращались к этой головоломке. Она имела много вариаций, но всегда вопрос сводился к одному: как поделить банк в неоконченной игре? Эта головоломка, получившая известность как «задача об очках», имела более глубокий смысл, чем кажется на первый взгляд. Ее решение ознаменовало начало систематического анализа вероятности – измерения нашего знания о том, что что-то должно произойти. Оно приводит нас на порог квантификации риска.

Получив представление о том, каким могучим барьером на пути исследования тайн теории вероятностей были предрассудки Средневековья, интересно снова вернуться к вопросу, почему греки и даже римляне не интересовались задачами, подобными головоломке Пачоли. Нужно полагать, дело было в том, что греки вообще не проявляли интереса к экспериментированию. Их занимали только теории и доказательства. Они, кажется, никогда не обсуждали возможность воспроизведения какого-либо явления достаточное для доказательства гипотезы число раз, видимо, потому, что им была чужда мысль об упорядоченности событий на земле. Точность считалась монополией богов.

Во времена же эпохи Возрождения почти каждый, от ученого до изобретателя, от художника до архитектора, обладал страстью к исследованиям, экспериментированию и демонстрации результатов опыта. В такой атмосфере кто-то из игроков должен был обратить внимание на регулярности, проявляющиеся при игре. Таким человеком, пытавшимся осмыслить закономерности игры, оказался лекарь Джероламо Кардано (Cardano) (1501, по др. данным, 1506 – 1576). Игре посвящен трактат Кардано «Книга о случайных играх» («Liber de Ludo Aleae»). В нем были предприняты первые серьезные попытки разработать статистические принципы теории вероятностей. Но само слово «вероятность» в тексте не встречается. В названии, которое Кардано дал своей книге, и большей части текста используется слово «шансы». Понимание связи между вероятностью и случайностью, составляющей суть случайных игр, еще около ста лет после опубликования в 1663 году «Книги о случайных играх» не могло стать достоянием обыденного мышления.

Вероятность всегда несет в себе двоякий смысл. С одной стороны, это взгляд в будущее, с другой, истолкование прошлого. С одной стороны, речь идет о наших предположениях, с другой, о том, что мы действительно знаем. Эта двуединость понятия пронизывает все, о чем пойдет речь далее.

В первом смысле вероятность означает степень правдоподобия или приемлемости мнения и не поддается до конца анализу и пониманию, находясь на границе познаваемого и непознаваемого. Понимание этого первого аспекта возникло значительно раньше, чем идея об измерении вероятности. Оно развилось с течением времени из идеи проверки, насколько можно принимать на веру то, что мы знаем? В случае с Галилео вероятность была оценкой того, насколько можно верить тому, о чем нам сказали. Использование этого понятия у Лейбница ближе к современному и состоит в том, насколько можно доверять собственному восприятию. Этот более современный подход не мог получить развития, пока математики не разработали теоретическую концепцию частоты событий в прошлом. Кардано мог первым наметить статистический подход к теории вероятностей, но характерное для его времени и психологии игрока отношение к жизни обусловило интерес только к субъективно-волевому аспекту вероятностей, и такое понимание не стыковалось с тем, что он пытался осуществить на пути измерения.

«Книга о случайных играх» была впервые опубликована только в 1663 году. К этому времени в теории вероятностей был достигнут значительный прогресс силами других ученых, которые не были знакомы с направленными к той же цели усилиями Кардано. Если бы этот труд не пролежал целое столетие в безвестности, содержащиеся в нем обобщения, касающиеся вероятностей в играх, могли бы значительно ускорить развитие математики и теории вероятностей.

В «Книге о случайных играх» впервые сформулировано общепринятое теперь представление вероятности как отношения числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов[1]⁾. В своем труде Кардано проясняет некоторые общие принципы, ранее никем не рассматривавшиеся. Рассматривая вероятности различных результатов бросков при игре в кости, Кардано углубляется в игры с большим числом костей и большим числом успешных исходов при большем числе бросков. В конце концов это исследование приводит его к обобщению законов о шансах, которое превращает экспериментальный результат в теорию.

Принципиальным достижением Кардано можно считать следующую идею. Хотя две кости имеют в сумме двенадцать граней, Кардано определяет вероятность выбрасывания некоторого числа очков в сумме (например, семи), не исходя из неверного предположения, что число всех возможных исходов равно одиннадцати (от двух до двенадцати очков в сумме). Он замечает, что игрок может, например, выбросить «3» на первой кости и «4» на второй, но точно так же он может выбросить «4» на первой кости и «3» на второй. Количество всевозможных комбинаций, образующих число всех возможных исходов, оказывается значительно большим, чем общее число граней на двух костях. Заметив решающую роль комбинаций чисел, Кардано сделал гигантский шаг на пути разработки вероятностных законов. Как продемонстрировал Кардано, бросание пары шестигранных костей дает не одиннадцать, а тридцать шесть всевозможных комбинаций.

Кардано начал «Книгу о случайных играх» в духе экспериментального исследования, а закончил созданием теоретических основ комбинаторики. Более того, оригинальные взгляды на роль вероятности в случайных играх, не говоря уже о математических средствах, примененных Кардано для решения поставленных задач, позволяют считать «Книгу о случайных играх» первой в истории попыткой измерения риска. Именно благодаря блестящим достижениям Кардано возникла сама идея и возможность управления риском.

Идеи о вероятности и риске развивались быстрыми темпами, а интерес к этим проблемам через Францию распространился на Швейцарию, Германию и Англию.

Франция, например, в течение XVII и XVIII веков испытала настоящий математический бум, герои которого пошли значительно дальше экспериментов Кардано с бросанием костей. Успехи вычислительных методов и алгебры привели к бурному развитию абстрактных математических понятий и обеспечили обоснование многих практических приложений вероятности – от страхования и инвестирования до таких, казалось бы, далеких от математики предметов, как медицина, наследственность, поведение молекул, стратегия и тактика военных действий и предсказание погоды.

Первым шагом была разработка измерительных методов, пригодных для определения степени упорядоченности, которая может скрываться в неопределенном будущем. Попытки разработать такие методы впервые были предприняты еще в XVII веке. Например, в 1619 году священник Томас Гатакер (Gataker) (1574 – 1654) опубликовал нашумевшую работу «О природе и использовании жребия» («Of the Nature and Use of Lots»), в которой утверждал, что исход случайных игр определяет не Бог, а закон природы вещей, или естественный закон. К концу XVII века были решены важные проблемы теории вероятностей. Следующим шагом было решение вопроса о том, как люди осознают вероятности и реагируют на них в реальной жизни. Этим, в конечном счете, и занимается теория управления риском и принятия решений, и здесь баланс между объективными данными и волевыми качествами приобретает решающее значение.

3 Франция XVII в. Идеи Паскаля и Ферма

На данном этапе развития представлений о случайности главную роль сыграли открытия Блеза Паскаля (Pascal) (1623 – 1662) и Пьера Ферма (Fermat) (1601 – 1665), которые заложили теоретические основы измерения вероятности, решая задачу, сформулированную де Мере.

Ни Паскаль, ни Ферма не нуждались в экспериментах для подтверждения своих гипотез. В отличие от Кардано они с первых шагов работы над теорией вероятностей пользовались индуктивным методом. Теория позволила им измерять вероятности в численном виде и отказаться от принятия решений на основе субъективных мнений.

Именно от Паскаля мы узнаём об интуитивном понимании вероятности, которым обладал де Мере. Играя, он ставил вновь и вновь на комбинации, приносившие ему небольшие выигрыши, которые его противники считали чисто случайными. Согласно Паскалю, де Мере знал, что если бросить одну кость четыре раза, то вероятность увидеть шестерку превысит 50%[2]⁾. Его стратегия заключалась в том, чтобы выигрывать помалу при большом числе бросков, избегая делать редкие крупные ставки. Эта стратегия требовала много денег, потому что шестерка могла довольно долго не выпадать и приходилось удлинять серию бросков, дожидаясь, пока средний процент появления шестерки превысит 50%.

Де Мере пытался варьировать свою стратегию. Например, он часто делал ставки, будучи уверенным в том, что «дубль-шесть» в 24 бросках двух костей должен выпадать с вероятностью, большей 50%. На этом он потерял довольно много денег, пока не выяснилось, что значение этой вероятности, округленное до сотых от процента, составляет только 49,14%. Если бы он ставил на 25 бросков, при которых значение вероятности появления «дубль-шесть», округленное до сотых от процента, составляет 50,55%, он мог бы разбогатеть.

До встречи с Паскалем де Мере неоднократно обсуждал со многими французскими математиками «задачу об очках» (задачу о том, как разделить банк в неоконченной игре), однако никто не смог дать ему вразумительный ответ. Хотя эта задача заинтересовала Паскаля, он не захотел решать ее самостоятельно. В те времена в таких ситуациях обычно прибегали к личной переписке с другими математиками, которые могли подсказать что-либо полезное для решения задачи. Это послужило причиной переписки Паскаля и Ферма. И решение, разработанное ими для задачи о разделе банка в незавершенной игре, до сих пор используется в современной системе страхования и других формах управления риском.

Решение «задачи об очках» основывается на том, что игрок, опережающий противника в момент остановки игры, имеет больше шансов на победу, если игра продолжится. Но насколько больше? Насколько малы шансы отстающего игрока? Как, в конце концов, перекинуть мост от этой задачи к науке прогнозирования? Переписка Паскаля и Ферма, которую они вели по этому поводу в 1654 году, обозначила эпохальное событие в истории математики и теории вероятностей. Они создали систематический метод анализа ожидаемых исходов. Поскольку может произойти больше вещей, чем происходит на самом деле, Паскаль и Ферма предложили процедуру определения вероятности каждого из возможных результатов при допущении, что исходы могут быть оценены математически.

Они подошли к проблеме с разных позиций. Ферма обратился к чистой алгебре. Паскаль оказался более изобретательным: он использовал геометрическую форму для представления алгебраических структур. Его методология проста и применима к широкому спектру проблем теории вероятностей. Вероятностный анализ начинается с вычисления числа всех возможных ситуаций, обеспечивающих определенный исход некоего события. Именно эта совокупность и представлена последовательностью чисел в каждой строке «треугольника Паскаля»:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Первая строка представляет вероятность события, которое не может не произойти. Здесь возможен только один исход с нулевой неопределенностью. Вторая строка представляет собой вероятностную ситуацию с шансами 50 на 50: вероятность исхода в ситуации, подобной рождению мальчика или девочки в семье, планирующей иметь только одного ребенка, или вероятность того, что при одном броске монеты выпадет именно «орел» или именно «решка». При наличии только двух возможных исходов результат может быть тот или иной: мальчик или девочка, «орел» или «решка», и вероятность рождения мальчика, а не девочки или выпадения «орла», а не «решки» равна 50%. Третья строка моделирует ситуацию с семьей, в которой двое детей. Возможны четыре варианта: один шанс за двух мальчиков, один шанс за двух девочек и два шанса за то, что в семье есть и мальчик, и девочка, причем либо мальчик старше, либо мальчик младше девочки. Один мальчик (или одна девочка) среди детей появляется в трех из четырех исходов, и, таким образом, вероятность наличия мальчика (или девочки) в семье с двумя детьми равна 75%. Вероятность же того, что дети разного пола, равна 50%. Очевидно, что процесс зависит от комбинаций чисел, которые были отмечены в работе Кардано, правда еще не опубликованной к тому времени, когда Паскаль взялся за решение задачи.

Этот метод анализа приводит к решению «задачи об очках». Рассмотрим предложенную Пачоли «игру в мяч». Какова вероятность того, что игрок A победит в игре после проигрыша первого матча? Если мы, как в случайных играх, предположим, что два игрока играют одинаково, задача оказывается идентичной «задаче об очках», которую решали Ферма и Паскаль.

Итак, заметим, что вторая строка треугольника, строка с шансами 50 на 50, моделирует задачу о семье, имеющей одного ребенка, или задачу об одном броске монеты и описывает события с числом исходов, равным 2. Следующая строка показывает распределение исходов в задаче о семье с двумя детьми или в задаче о двух бросках монеты и описывает события, у которых число возможных исходов равно 4, или 2². Следующая строка описывает события с числом исходов, равным 8, или 2³, и показывает распределение исходов в задаче о семье с тремя детьми. Ясно, что в задаче об «игре в мяч» для определения победителя потребуется не более шести дополнительных матчей. Пусть A и B играют все шесть матчей. Тогда нам нужно рассмотреть строку с числом возможных исходов 2⁶, то есть с 64 возможными последовательностями выигрышей и проигрышей в шести матчах. Игроку A для победы нужно выиграть еще четыре матча, а игроку B нужны только три выигрыша. Возможен случай, когда игрок A выиграет все шесть матчей, а игрок B не выиграет ни разу – число 1 в начале строки относится к этому случаю. Следующее число 6. Оно фиксирует шесть различных возможных исходов, при осуществлении которых игрок A выиграет пять матчей, а игрок B выиграет только один матч из шести. И существует пятнадцать различных возможных исходов, при осуществлении которых игрок A выиграет четыре матча, в то время как игрок B выиграет дважды. Все остальные комбинации приводят к трем нужным для победы игрока B выигрышам и меньшему, чем необходимо для победы игрока A, числу его выигрышей. Это значит, что существует 1 + 6 + 15 = 22 комбинации, при осуществлении которых игрок A победит в игре после проигрыша в первом матче, и 42 комбинации, при которых победит игрок B. Таким образом, вероятность того, что после первого проигрыша игрок A в оставшихся шести матчах выиграет четыре прежде, чем игрок B выиграет три, равна 22/64. То есть банк между игроками A и B следует разделить в соотношении 22 к 42.

Позже математики назовут введенное здесь Паскалем распределение биномиальным.

Заметим, что хотя на деле игра не будет продолжаться после достижения необходимого для определения победителя числа выигрышей, логически законченное решение задачи было бы неосуществимо без рассмотрения всех математических возможностей.

У рассматриваемой задачи были аспекты, которые и Паскаля, глубоко погруженного в религиозные и моральные искания, и юриста Ферма беспокоили больше, чем связанные с ней математические проблемы. Согласно полученному ими решению, раздел банка в неоконченной «игре в мяч» затрагивает проблемы морального права. Хотя игроки могли бы сразу поделить банк поровну, это решение Паскалю и Ферма кажется неприемлемым, потому что оно было бы несправедливым по отношению к игроку, который к моменту прекращения игры оказывается впереди. Паскаль явно озабочен моральными аспектами проблемы и осторожен в словах. В своих комментариях к этому труду он отмечает: «… в первую очередь следует признать, что деньги, поставленные игроками на кон, им больше не принадлежат… но взамен они получают право ожидать того, что им принесет удача в соответствии с правилами, на которые они согласились вначале». Если они решат остановить игру, не доведя ее до конца, им придется вновь восстановить исходные права на внесенные в банк деньги. Тогда «должно действовать правило, согласно которому деньги нужно распределить пропорционально тому, что каждому обещала удача. <…> Это справедливое распределение известно как раздел». Справедливые пропорции раздела определяют принципы теории вероятностей. С учетом этого подхода становится очевидно, что решение Паскаля-Ферма ярко окрашено идеей управления риском, хотя они явно не использовали это понятие. Никакой разумный человек не пойдет на риск, если правила не определены.

Но помимо моральных проблем, предложенное Паскалем и Ферма решение приводит к точным обобщениям и правилам вычисления вероятностей, включая случаи участия более чем двух игроков. Применение этого подхода позволило им расширить границы теоретического анализа далеко за пределы наблюдений Кардано, что две кости с шестью гранями (или два броска одной кости) дают 6² комбинаций, а один бросок трех костей дает 6³ комбинаций.

Во время пребывания в монастыре Пор-Рояль Паскаль собрал воедино свои мысли о жизни и религии и опубликовал их в книге, озаглавленной «Мысли» («Pensees»). Один фрагмент этой книги приобрел известность как «пари Паскаля». Он задается вопросом: «Есть Бог или нет Бога? К чему нам склониться? Разум молчит». Опираясь на свой анализ вероятных исходов «игры в мяч», Паскаль ставит вопрос в терминах случайных игр. Он постулирует игру, которая продолжается до бесконечности. В данный момент бросается монета. На что вы поставите – на «орла» (Бог есть) или «решку» (Бога нет)? Ход рассуждений Паскаля в предложенном им варианте ответа на этот вопрос представляет собой начало теории принятия решений. Теория принятия решений – это теория о том, на что решиться, когда не известно, что произойдет. Принятие такого решения является первым и важнейшим шагом при любых попытках управлять риском.

Иногда мы принимаем решения на основе прошлого опыта, тех экспериментов, которые мы или другие проводили в течение жизни. Но нам недоступен эксперимент, способный доказать бытие или небытие Бога. Зато в наших силах исследовать будущие последствия веры или неверия в Бога. Мы никогда не сможем избавиться от этой дилеммы, потому что самим актом своего существования принуждены играть в эту игру. Паскаль объясняет, что вера в Бога – это не решение. Вы не можете проснуться утром и сказать: «Сегодня, кажется, я решу верить в Бога». Вы верите или не верите. Решением, следовательно, является выбор или отказ от таких действий, которые будут вести к вере в Бога, подобно общению с благочестивыми людьми и следованию жизни «святой и праведной». Следующий этим предписаниям ставит на то, что Бог есть. Тот, кто не может смириться с ними, ставит на то, что Бога нет. Единственный способ выбрать между ставкой на то, что Бог есть, и ставкой на то, что Он не существует, в этой описанной Паскалем бесконечной игре с бросанием монеты заключается в принятии решения, является ли исход, при котором Бог существует, в некотором смысле более предпочтительным, чем исход, в соответствии с которым Бог не существует, даже если шансы могут быть только 50 на 50. Как раз этот взгляд привел Паскаля к решению – к выбору, в котором ценность исхода и вероятность того, что он будет иметь место, различаются, потому что последствия обоих исходов различны. Здесь Паскаль предвосхитил эпохальное открытие Даниила Бернулли в теории принятия решений, сделанное им в 1738 году, о котором будет рассказано подробнее чуть позже. Если Бога нет, не важно, ведем мы праведную жизнь или грешим. Но предположим, что Бог есть. Тогда, поставив против Его существования и отказавшись от праведной жизни, вы рискуете быть обреченным на вечные муки. Поставив же на существование Бога, вы приобретаете возможность спасения, если Он есть. Поскольку спасение, естественно, предпочтительнее вечных мук, правильным следует признать решение исходить в своем поведении из предположения, что Бог есть. Поэтому ответ на вопрос «К чему нам склониться?» для Паскаля был очевиден.

В 1662 году был опубликован труд «Логика, или Искусство мыслить» («La logique, ou 1'art de penser»), написанная монахами монастыря Пор-Рояль, основным автором которой считается Антуан Арно. В этом труде имелось несколько глав о вероятности, касающихся процесса развития гипотезы, основанной на ограниченном наборе фактов. Сегодня этот процесс называют статистическим выводом. Среди прочего в этих главах излагаются «правило должного применения разума в определении ситуаций, когда следует подчиниться авторитету других», правила истолкования чудес, основа для истолкования исторических событий и рассказывается о применении количественных измерений вероятности.

В последней главе описывается игра, в которой каждый из десяти игроков ставит одну монету в надежде выиграть девять монет партнеров по игре. Автор указывает, что есть «девять шансов потерять монету и только один – выиграть девять». То есть теперь вероятность окончательно поддалась измерению.

Особую значимость имеет другой пример, приведенный в труде. Так, вероятность быть убитым молнией мала, но «многие люди… очень пугаются при звуках грома». Затем высказывается принципиально важное утверждение: «Страх перед ущербом должен быть пропорционален не только величине ущерба, но и вероятности его нанесения». Здесь мы сталкиваемся еще с одной важной новой идеей: на решение должны влиять оба фактора – тяжесть последствий и их вероятность. Можно эту мысль сформулировать иначе: решение должно учитывать и силу нашего желания некоего определенного исхода, и оценку того, насколько вероятен желательный исход. То есть впервые при измерении были учтены субъективные элементы.

Таким образом, Паскаль и Ферма уже могли делать прогнозы и овладели систематическим методом вычисления вероятности будущих событий. Их открытия имели существенное значение для управления риском и принятия решений в бизнесе, в частности в системе страхования. В «Логике» Пор-Рояля сделан первый важный шаг на пути создания теории принятия решений. Неизбежная неопределенность будущего никогда не позволит нам полностью изгнать тень рока из наших надежд и страхов, но после 1654 года гадание было навсегда вычеркнуто из числа методов прогнозирования и выбора решений.

4 Даниил Бернулли. Измерение субъективного. Понятие полезности и принятие решений

В 1738 году в «Известиях Императорской Санкт-Петербургской Академии наук» («Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae». Tomus V) появилась статья швейцарского математика Даниила Бернулли (Bernoulli) (1700 – 1782) с интересным тезисом: «Ценность чего-либо должна иметь основанием не цену, а полезность». Первоначально статья была представлена Академии в 1731 году под названием «Изложение новой теории об измерении риска» («Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis»).

Между «Логикой» Пор-Рояля и этим трудом прослеживается концептуальная связь. Авторы обоих трудов исходят из предположения, что процесс принятия любого решения, связанного с риском, имеет два различных, но неразделимых аспекта: объективные факты и субъективные представления относительно желательности выигрыша. И объективные результаты измерения, и субъективная позиция одинаково важны и в отрыве друг от друга не являются самодостаточными. Однако автор из Пор-Рояля убежден, что неразумно принимать решения, учитывая только последствия и пренебрегая их вероятностью. Даниил Бернулли же доказывает, что нельзя основывать свой выбор исключительно на анализе вероятности, не учитывая возможные последствия. Статья Даниила Бернулли является одним из наиболее значительных из когда-либо написанных текстов по проблемам как риска, так и человеческого поведения вообще. Сложные взаимосвязи между измерением и волевыми предпочтениями, на которые он впервые обратил внимание, затрагивают почти все аспекты жизни.

В своей статье Даниил Бернулли подвергает критике утверждение о том, что ожидаемое значение[3]⁾ случайной величины, вычисляемое как сумма попарных произведений значения случайной величины на вероятность принятия случайной величиной данного значения по всем возможным значениям[4]⁾, вполне приемлемо характеризует саму случайную величину. Даниил Бернулли находит данную характеристику недостаточной для описания процесса принятия решения в реальной жизни, потому что она учитывает только факты и игнорирует отношение к вероятным исходам личности, которая должна принять решение в условиях неопределенности. Знания цены и вероятности еще недостаточно для определения ценности исхода. Хотя факты для всех одинаковы, «полезность… в каждом отдельном случае зависит от личности, делающей оценку… Нет оснований предполагать, что… риск, воспринимаемый каждым по-своему, может оцениваться одинаково».

Понятие полезности постигается интуитивно. Оно ассоциируется с пользой, желательностью или удовлетворением, тогда как понятие «ожидаемое значение» носит чисто математический характер. Даниил Бернулли считает, что разумный человек, принимая решение, постарается максимизировать ожидаемую полезность (степень удовлетворения от) некоторого вероятного события, а не его ожидаемое значение. При этом ожидаемая полезность (то есть математическое ожидание полезности) события вычисляется как сумма попарных произведений полезности исхода на вероятность данного исхода по всем возможным исходам.

Отсюда следует однозначный вывод: автор «Логики» Пор-Рояля, указывающий на то, что боящиеся раскатов грома люди переоценивают опасность, был неправ. Не эти люди, а он кое-что игнорирует. Факты одни и те же для всех, и каждый человек прекрасно осознает, насколько мала вероятность попадания молнии именно в него. Тем не менее многие люди придают такое значение последствиям этого исхода, что, сколь бы мала ни была его вероятность, само ее наличие способно ужаснуть. Однако есть и такие люди, которые не боятся молнии вовсе. И как указывает Даниил Бернулли, происходит это именно оттого, что они не придают особого значения последствиям данного исхода. Таким образом, оценка исхода превалирует над измерением.

Следует заметить, что если бы все стали оценивать риск одинаково, многие благоприятные возможности были бы упущены. Азартные люди предпочитают большую и маловероятную выгоду более вероятной, но малой выгоде. Других мало привлекает вероятность выигрыша, потому что их заветной целью является сохранение того, что у них есть. Во что превратилась бы наша жизнь, если бы каждый боялся выходить во время грозы, летать на самолете или вкладывать деньги в новые предприятия.

Стоило Даниилу Бернулли высказать свой основной тезис о том, что люди по-разному оценивают одни и те же значения риска, как он пришел к кардинальной идее: «Польза от увеличения богатства обратно пропорциональна величине уже имеющегося богатства». Эта гипотеза является одним из величайших интеллектуальных достижений в истории идей. С ее помощью процесс вычисления вероятностей превращен в процедуру подключения субъективных соображений к процессу принятия решений в ситуациях с неопределенными исходами.

Даниил Бернулли блистательно сформулировал мысль о том, что в отличие от фактов, дающих однозначный ответ на вопрос об ожидаемом значении, – факты для всех одни и те же, субъективный процесс оценки этого значения приводит к такому же количеству ответов, сколько людей в нем участвует. Но и это еще не всё. Дальше он предлагает методику подхода к определению того, насколько сильно чего-то хочет каждый, принимающий решение: объем и степень пожеланий обратно пропорциональны количеству того, что уже есть.

Впервые в истории Даниил Бернулли применил измерение к тому, что до него считалось неизмеримым. Кардано, Паскаль и Ферма изобрели метод измерения риска при бросании костей, а Даниил Бернулли подвел нас к рискующему – к игроку, решающему, сколько поставить и ставить ли вообще. Если теория вероятностей рационализирует выбор, то Даниил Бернулли определяет мотивацию личности, которая выбирает. Фактически он указал на новый предмет изучения и заложил интеллектуальные основы того, что позднее нашло применение не только в экономической теории, но и в общей теории принятия решений в разных жизненных ситуациях.

В своей статье Даниил Бернулли приводит ряд интересных примеров, иллюстрирующих его идеи. Самым знаменитым из них стал так называемый «петербургский парадокс», предложенный двоюродным братом Даниила Бернулли – Николаем Бернулли (Bernoulli) (1687 – позже 1718), который состоит в следующем. Рассмотрим игру между Петром и Павлом, в которой Петр бросает монету до тех пор, пока не выпадет «орел». Петр должен заплатить Павлу один дукат, если «орел» выпадет в первом броске, два дуката, если «орел» выпадет во втором броске, четыре – если в третьем броске, и т. д. С каждым следующим броском число дукатов, которые Петр должен заплатить Павлу, удваивается. Сколько должен заплатить Павлу тот, кто захочет занять его место в этой игре? Причину парадокса Даниил Бернулли усматривает в том, что «принятый метод вычисления [ожидаемого значения] на деле делает оценку перспектив Павла бесконечно большой, [но] никто не захочет купить [эти перспективы] за достаточно высокую цену». Даниил Бернулли провел подробный математический анализ проблемы, основанный на предположении, что польза от приращения богатства обратно пропорциональна первоначальному богатству. В соответствии с этим предположением сумма, которую Павел может выиграть на двухсотом броске, принесет ему бесконечно малую добавочную пользу по сравнению с тем, что он накопит к сто первому броску.

Отметим, что Даниил Бернулли ввел еще одно новое понятие, которое современные экономисты считают движущей силой экономического развития, – человеческий капитал. Понятие выросло из определения богатства как «чего угодно, что может содействовать адекватному удовлетворению каких-либо желаний… В этом смысле никто не может сказать, что у него ничего нет, пока он не умер». Какие формы принимает богатство большинства людей? Даниил Бернулли говорит, что материальные активы и финансовые права представляют собой меньшую ценность, чем способность к продуктивной деятельности, даже если это умение нищенствовать. Он утверждает, что человек, умеющий добыть 10 дукатов в год за счет подаяния, по-видимому, отказался бы от единовременного вознаграждения в 50 дукатов в обмен на полный отказ от сбора милостыни в последующем: потратив эти 50 дукатов, он не знал бы, на что жить. Но должна же быть какая-то сумма, за которую он согласился бы навсегда отказаться от сбора милостыни? Если для этого достаточно, например, 100 дукатов, «мы можем сказать, что состояние нищего оценивается в 100 дукатов».

Сегодня мы рассматриваем идею человеческого капитала, представляющего собой совокупность образования, природных талантов, квалификации и опыта, являющуюся источником будущего заработка, как основополагающую для понимания важнейших аспектов мировой экономики. Несмотря на огромный прирост материального богатства с 1738 года, для огромного большинства людей человеческий капитал все еще остается главным источником дохода.

Для Даниила Бернулли случайные игры и абстрактные проблемы были только средствами для иллюстрации его основного довода, касающегося стремления к богатству и использованию благоприятных возможностей. Он акцентирует внимание скорее на процессе принятия решений, чем на математических тонкостях теории вероятностей. Он сразу провозглашает, что хочет установить «правила, которыми сможет руководствоваться всякий, желающий уяснить свои перспективы в рискованных предприятиях, связанных с определенными финансовыми обстоятельствами». Таким образом, риск перестал быть просто столкновением с не зависящими от нас обстоятельствами, теперь его понимают как набор возможностей, открытых для выбора.

Используемое Даниилом Бернулли понятие полезности наряду с его утверждением об обратной зависимости между степенью удовлетворенности определенным приращением богатства и объемом наличного богатства было настолько революционным, что оказало весомое влияние на труды крупных мыслителей последующих поколений. Понятие полезности легло в основу закона спроса и предложения и оказалась столь продуктивным, что в последующие двести лет превратилось в основной инструмент объяснения процесса принятия решений и теории выбора в областях, весьма далеких от финансовых операций. Наконец, теория игр – изобретенный в XX веке подход к принятию решений в войне, политике и бизнесе – сделала понятие полезности неотъемлемой частью единого системного подхода. Понятие полезности оказало решающее влияние на психологию и философию, потому что Даниил Бернулли предложил стандарт для оценки разумности человеческого поведения.

Теория полезности требует от разумного человека способности оценивать полезность при любых обстоятельствах и, руководствуясь этой оценкой, делать выбор и принимать соответствующие решения. Это нелегкая работа, даже если учесть то, что факты для всех одни. Но во многих случаях факты все-таки не для всех одинаковы. У каждого своя информация, и к тому же каждый склонен «окрашивать» ее по-своему.

Мысль о том, что каждый из нас имеет собственный набор ценностей и реагирует на ситуации в соответствии с этим набором, была смелой новацией Даниила Бернулли, но его одаренность проявилась и в понимании необходимости пойти дальше. По мнению Даниила Бернулли, наши решения имеют определенную и предсказуемую структуру. В рациональном мире мы все хотели бы быть не бедными, а богатыми, но интенсивность нашего желания разбогатеть определяется тем, насколько мы богаты в данный момент. Логическим следствием данных рассуждений Даниила Бернулли явилось совершенно новое восприятие риска. Если удовлетворение, получаемое от каждого последующего приращения богатства, меньше, чем от первого, то ущерб от проигрыша будет всегда превышать полезность от равного по размерам выигрыша. Даниил Бернулли приводит такой пример: два одинаково богатых человека, у каждого по 100 дукатов, решили сыграть в игру с шансами выигрыша или проигрыша 50 на 50. Каждый ставит на кон 50 дукатов, то есть у каждого равные шансы закончить игру со 150 или с 50 дукатами. Станет ли разумный человек играть в такую игру? Математическое ожидание суммы, которой будет обладать каждый после такой игры – те же 100 дукатов, с которыми каждый игрок начал игру, то есть для каждого ожидаемое значение такое же, как если бы они вообще не садились играть (так называемая «игра с нулевой суммой»). Предложенная Даниилом Бернулли концепция полезности выявляет асимметрию, объясняющую непривлекательность такой игры. Весомость потери 50 дукатов в случае проигрыша выше, чем весомость приобретения 50 дукатов в случае выигрыша. То есть если оценивать игру с нулевой суммой с позиций полезности, то это проигрышная игра. Обоим было бы лучше отказаться от такой игры.

Большинство из нас согласится с Даниилом Бернулли, что с точки зрения полезности азартная игра всегда проигрышна. Мы, как говорят психологи, «не предрасположены» или «не склонны» к риску. Смысл этого выражения достаточно любопытен. Пусть нужно сделать выбор: получить в подарок 25 долларов или сыграть в игру, в которой имеются равные шансы или выиграть 50 долларов, или не выиграть ничего. Математическое ожидание результата игры равно 25‑ти долларам, то есть равноценно подарку, но результат не определен. Нерасположенный к риску человек предпочтет игре подарок. Впрочем, у каждого свое отношение к риску. Можно оценить степень предрасположенности человека к риску, используя «эквивалент определенности», то есть величину математического ожидания в игре, которую человек предпочел бы подарку.

Таким образом, несмотря на то, что спустя два столетия станет ясно, что гипотеза Даниила Бернулли о разумности человека не всегда выполняется, его идеи остаются величайшим достижением своего времени. И на протяжении двух столетий после опубликования статьи Даниила Бернулли понятие полезности оставалось в центре философских дебатов о разумности человеческого поведения.

5 Якоб Бернулли. Первая попытка измерения неопределенности на основе имеющихся данных

Если точное знание будущего недостижимо, какова достоверность имеющейся у нас информации? Как мы должны оценивать добавочную информацию и как включать ее в оценки, базирующиеся на исходной информации? Теория вероятностей является серьезным инструментом прогнозирования, но при его использовании нельзя забывать о том, что все зависит от качества информации, на основе которой оценивается вероятность. Впервые изучением связей между вероятностью события и качеством исходной информации занялся Якоб Бернулли (Bernoulli) (1654 – 1705).

Сама по себе постановка Якобом Бернулли обсуждаемого вопроса была научным подвигом. В 1703 году Якоб Бернулли впервые поставил вопрос о том, как вычислить истинное значение вероятности некоторого события. В письме к Лейбницу он заметил, что ему кажется странным, что нам известна вероятность выпадения семи очков при игре в кости, но мы не знаем в точности, с какой вероятностью двадцатилетний переживет шестидесятилетнего. Не следует ли нам, спрашивает он, для ответа на этот вопрос подвергнуть исследованию множество всех пар людей соответствующих возрастов? Отвечая Якобу Бернулли, Лейбниц критически оценил этот подход. «Природа установила шаблоны, имеющие причиной повторяемость событий, – пишет он, – но только в большинстве случаев… Не имеет значения, сколько опытов вы провели… – на их основе вам не установить таких границ природы событий, чтобы в будущем не осталось места вариациям». Очевидно, этим он хотел подчеркнуть, что конечное число опытов, предлагаемое Якобом Бернулли, с неизбежностью окажется недостаточным для точного исчисления замыслов природы.

Критика Лейбница внесла коррективы в подход Якоба Бернулли к решению проблемы. Его усилия определить истинное значение вероятности на основе выборки данных нашли отражение в труде «Ars Conjectandi», полностью опубликованном лишь в 1713 году, после смерти автора. Интерес Якоба Бернулли сосредоточен на том, чтобы показать, где метод логического вывода – объективный анализ данных – кончается и начинается другой метод – прогнозирование на основе вероятностных законов, где прогнозирование рассматривается как процесс восстановления целого по части. Якоб Бернулли начинает свой анализ с констатации того, что для вычисления истинного значения вероятности на основе классического определения «необходимо только верно подсчитать число благоприятных исходов и число всех возможных исходов». Трудность, на которую он постоянно указывает, заключается в том, что использование данного определения вероятности ограничено почти исключительно случайными играми. Для Якоба Бернулли это ограничение имеет принципиальное значение.

Якоб Бернулли указывает на принципиальное отличие между реальностью и абстракцией при использовании вероятностных законов. Например, предложенное Пачоли рассмотрение незавершенной «игры в мяч» не имеет ничего общего с реальными жизненными ситуациями, так как в реальной жизни игроки обладают неодинаковыми способностями. Теория может определить вероятность тех или иных исходов для игры в казино или лотереи – здесь нет необходимости вращать колесо рулетки или считать лотерейные билеты, чтобы определить характер результата, но в реальной жизни важна относящаяся к делу информация. Беда в том, что мы никогда не обладаем ей в нужном объеме. Природа устанавливает шаблоны, но «только в большинстве случаев». В теории, которая абстрагируется от природы, дело обстоит проще: мы или имеем необходимую информацию, или не нуждаемся в ней. В нашем обсуждении гипотетической «игры в мяч» статистика игр, физические способности и интеллектуальное развитие игроков не имели отношения к делу. Игнорировалась даже сама природа игры. Теоретический подход полностью подменял конкретную информацию.

Можно ли утверждать, что игрок B лучше игрока A, скажем, в два раза? Выигрыша в одном матче недостаточно для этого утверждения. Сколько раз должны сыграть A и B, чтобы мы могли убедиться, что B играет в два раза лучше, чем A? Реальные жизненные ситуации часто требуют от нас определения вероятности вполне определенного исхода на пути заключения от частного к общему. В жизни очень редко встречаются задачи, сводящиеся к чистой игре случая, для которых можно определить вероятность исхода до изучения ряда событий – «a priori». В большинстве случаев мы вынуждены определять вероятности на основе имеющихся данных после ряда произошедших событий – «a posteriori». Само понятие «a posteriori» предполагает эксперимент и измерение степени уверенности.

Вклад Якоба Бернулли в решение проблемы определения вероятности на основе информации об ограниченном наборе реальных событий был двойным. С одной стороны, он сформулировал задачу в этом виде в то время, когда никто еще даже не усматривал необходимости ее постановки. С другой стороны, он предложил ее решение, зависящее только от двух предположений. Первое из них состоит в том, что «при одинаковых условиях наступление (или не наступление) события в будущем должно следовать тем же закономерностям, какие наблюдались при тех же условиях в прошлом». Это допущение чрезвычайно важно. И сложность выполнения этого предположения в реальности не требует пояснений. Какие бы данные мы ни отбирали для анализа, прошлое остается лишь фрагментом реальности. Эта фрагментарность играет решающую роль при переходе от ограниченного набора данных к обобщению. Мы никогда не имеем и не можем собрать всей информации, в которой нуждаемся, чтобы обладать стопроцентной уверенностью. Второе предположение состоит в возможности производить испытания (опыты) независимо друг от друга.

Другими словами, управление риском сводится к использованию трех основополагающих предположений: полнота информации, независимость испытаний и надежность количественных оценок. В каждом отдельном случае вопрос о правомерности этих предположений является главным для решения вопроса о том, насколько успешно мы можем использовать измерения и информацию для прогнозирования будущего. По существу, эти предположения определяют наш взгляд на прошлое: можем ли мы объяснить произошедшее, или при описании события следует прибегнуть к понятию чистой случайности (это, иначе говоря, означает, что мы не имеем объяснения)?

Таким образом, несмотря на то, что реальность все же не укладывается в необходимые условия Якоба Бернулли, его подход расширяет рамки применимости вероятностных законов по сравнению с подходом Паскаля и Ферма. Теорема Якоба Бернулли об оценке истинного значения вероятности a postetiori ныне известна как «закон больших чисел». Вопреки распространенной точке зрения этот закон не дает метода получения истинного значения вероятности в точности, а предлагает лишь оценку, которая является несовершенным отображением явления в целом. Не следует из него и утверждение, будто увеличение числа наблюдений влечет за собой возрастание вероятности совпадения того, что мы видим, с тем, что мы исследуем. Предположим, что мы подбрасываем монету. Закон больших чисел не утверждает, что средний процент (относительная частота) выпадений «орла» будет приближаться к своему истинному значению в 50% при увеличении числа бросков – простые вычисления на основе классического определения вероятности позволят установить это истинное значение и избавят от утомительного подбрасывания монеты. Закон утверждает, что при увеличении числа бросков будет возрастать вероятность того, что процент появлений «орла» в общем числе бросков будет отличаться от 50% на величину, меньшую сколь угодно малой заданной величины (при условии независимости бросков и их осуществления в одинаковых условиях). Все дело в слове «отличаться». Речь идет о вероятности того, что отклонение наблюдаемого среднего значения процента выпадений «орла» от истинного будет меньше, чем, скажем, 2%, которая с увеличением числа бросков будет возрастать. Это не означает, что при бесконечном числе бросков отклонений не будет. Не означает это и того, что отклонение будет становиться все меньше и меньше. Закон лишь утверждает, что среднее значение при большом числе бросков будет с большей, чем при малом числе бросков, вероятностью отличаться от истинного значения на величину, меньшую наперед заданной. Но всегда останется возможность того, что наблюдаемый результат будет отличаться от истинного на величину, большую некоей заданной.

Закон больших чисел не следует путать с «законом схождения к математическому ожиданию», о котором будет рассказано чуть позже. Вероятность выпадения «орла» при одном бросании монеты составляет 50%. Но результат каждого броска не зависит от всех остальных: не зависит от результата предшествующих бросков и не влияет на результаты последующих. Следовательно, закон больших чисел не утверждает, что вероятность выпадения «орла» для отдельного броска станет выше 50%, если в первых ста бросках только в 40% случаев выпал «орел» – закон больших чисел отнюдь не обещает отыгрыша после серии проигрышей.

Для иллюстрации закона больших чисел Якоб Бернулли предложил мысленный эксперимент с кувшином, наполненным 30 000 белых камешков и 20 000 черных, ставший с тех пор очень популярным. Он оговаривает, что нам должно быть неизвестно, сколько камешков каждого цвета в кувшине. Мы случайным образом независимо по одному вынимаем камешки из кувшина, фиксируем цвет каждого из них и возвращаем обратно в кувшин[5]⁾. Из факта, что по мере возрастания числа обследованных таким образом камешков мы получаем «практическую достоверность» (имеется в виду достоверность в обыденном смысле слова, а не абсолютная достоверность) того, что число белых и число черных камешков соотносится как 3:2, Якоб Бернулли заключает, что «мы можем определить это соотношение a posteriori с почти той же точностью, как если бы оно было известно нам a priori». Его расчеты показывают, что 25 550‑кратного вытаскивания камешков из кувшина будет достаточно, чтобы с вероятностью, превышающей 1 000/1 001 утверждать, что результат будет 3/2 с точностью 2%. Это и есть так называемая «практическая достоверность». И теперь мы можем делать предсказания о любых неопределенных величинах с той же степенью научной обоснованности, как и предсказания в случайных играх.

Однако закон больших чисел не является средством улучшения качества испытаний: Якоб Бернулли не забыл замечание Лейбница и отверг свои первоначальные идеи о поиске четких ответов на основе эмпирических испытаний. Якоба Бернулли интересовало лишь то, как следует понимать вероятность в условиях неприменимости классического определения. В качестве такого альтернативного определения он и предложил относительную частоту появления события[6]⁾, истинное значение вероятности наступления которого нас интересует.

Однако, как оказалось, без проблем не обошлось. Расчет, показавший необходимость 25 550 испытаний для получения практической достоверности, пугал неприемлемой величиной этого числа. Как ни странно, именно на этом месте труд Якоба Бернулли обрывается. Ему пришлось сделать вывод, что трудно найти в реальной жизни случаи, в которых все наблюдения удовлетворяли бы требованию независимости друг от друга: «Таким образом, если все события вечно повторяются, приходится признать, что всё в мире происходит по определенным причинам в соответствии с определенными правилами, и мы вынуждены предположить относительно наиболее явно случайных вещей наличие некоей необходимости или, иначе говоря, Рока».

Тем не менее идеи Якоба Бернулли стали значимым инструментом в первой попытке измерить неопределенность, точнее, определить ее, и вычислить вероятность того, что эмпирически определенное значение вероятности случайной величины близко к истинному, если истинное значение неизвестно.

После смерти Якоба Бернулли его исследования продолжил племянник – Николай Бернулли (Bernoulli) (1687 – позже 1718). Результаты Николая Бернулли были опубликованы в том же 1713 году, в котором вышел в свет труд «Ars Conjectandi».

Якоб Бернулли сначала задает вероятность того, что отклонение наблюдаемого значения от истинного окажется в некоем определенном интервале, а затем вычисляет число наблюдений, необходимое для получения данного результата. Николай Бернулли поставил перед собой обратную задачу. Считая число наблюдений заданным, он вычислял вероятность того, что отклонение наблюдаемого значения от истинного окажется в заданных пределах. Он использовал пример, в котором предполагал, что истинное отношение числа рождающихся мальчиков к числу рождающихся девочек равно 18:17. Если общее число рождений составляет, скажем, 14 000, то ожидаемое число рождений мальчиков – это 7 200. Затем он рассчитал, что с шансами 43,58 к одному действительное число родившихся мальчиков окажется в интервале от 7 200 – 163 до 7 200 + 163, то есть между 7 037 и 7 363.

6 Идеи де Муавра и Байеса. Окончательное решение проблемы Якоба Бернулли

В 1718 году Николай Бернулли, племянник Якоба Бернулли, предложил английскому математику Абрахаму де Муавру (Moivre) (1687 – 1754) присоединиться к его исследованиям, но де Муавр отверг это предложение.

Первая работа де Муавра, посвященная теории вероятностей, «Об измерении случайных величин» («De Mensura Sortis»), была опубликована в 1711 году. В 1718 году издание этой работы было значительно расширено и озаглавлено «Теория случайностей» («The Doctrine of Chances»). Это, по-видимому, первая работа, в которой риск определен как ожидаемое значение суммы проигрыша: «Риск проиграть некую сумму обратен ожиданию выигрыша, и истинной мерой его является произведение поставленной на кон суммы на вероятность проигрыша».

В 1730 году де Муавр в конце концов обратился к предложенной Николаем Бернулли теме – насколько хорошо выборка отображает свойства объекта, на основе которого она построена, и в 1733 году опубликовал результаты своей работы во втором и третьем издания «Теории случайностей». С тех пор достижения де Муавра стоят в ряду наиболее важных математических открытий. Используя вычисления и основные свойства треугольника Паскаля, составляющие содержание биномиальной теоремы, де Муавр демонстрирует, как последовательность случайных испытаний, подобных опытам Якоба Бернулли с кувшином, приводит (при достаточно большом числе испытаний) к характерному распределению результатов. Предположим, мы вытащили сто камешков подряд из кувшина, фиксируя отношение числа черных и белых камешков. Теперь предположим, что мы выполнили серию таких опытов по сто испытаний в каждом. Де Муавр заметил, что полученные в результате этого отношения характерным образом группируются около значения 3:2.

Распределение де Муавра ныне известно как «нормальная» или, в соответствии с ее формой, «колоколообразная» кривая. Эта кривая показывает, что наибольшее число наблюдений случайной величины группируется вблизи ее математического ожидания. Кривая симметрично спускается по обе стороны от математического ожидания, вблизи его круто, а затем все более полого. Другими словами, результаты наблюдений, далекие от математического ожидания, менее вероятны, чем близкие к нему. Форма кривой де Муавра позволила ему вычислить статистическую меру ее отклонения относительно математического ожидания. Эта мера, ныне известная как «стандартное» или «среднеквадратическое» отклонение[7]⁾, чрезвычайно важна для решения вопроса о том, включает ли в себя совокупность наблюдений достаточно репрезентативную для изучаемого объекта выборку. В нормальном распределении приблизительно 68% результатов наблюдений оказываются в пределах одного среднеквадратического отклонения от математического ожидания в обе стороны и около 95% – в пределах двух среднеквадратических отклонений.

Специалисты в математической статистике шутят, что сидеть на плите с головой в холодильнике, в среднем, неплохо. Среднеквадратическое отклонение может показать, не имеем ли мы дело именно с этим случаем, когда любые рассуждения о математическом ожидании являются бессмысленными. Среднеквадратическое отклонение может также показать, что 25 550 манипуляций с камешками Якоба Бернулли позволяют весьма точно оценить соотношение числа черных и белых камешков в кувшине.

Однако вернемся к де Муавру. Его наблюдение позволило ему внести существенный вклад в теорию вероятностей, который в настоящее время носит название теоремы Муавра-Лапласа и состоит в следующем. Предположим, что вероятность произвести бракованное изделие равна 0,1%. Какова в таком случае вероятность того, что среди 100 000 изделий 12 окажутся бракованными? Теоретический ответ на данный вопрос могут дать и построения Паскаля, однако в силу большого объема выборки практическое вычисление искомой вероятности стало доступно лишь после открытия де Муавра, заключающегося в том, что с увеличением объема выборки распределение числа бракованных изделий все лучше описывается колоколообразной кривой, причем чем больше объем выборки, тем точнее значение искомой вероятности, полученное на основе этого распределения. Построения де Муавра позволяют получить ответ и на такой вопрос: «Какова вероятность того, что процент брака окажется в пределах от 0,09% до 0,11%?»

Но обычно вопрос ставится наоборот. Чаще никто точно не знает, какова вероятность произвести бракованное изделие. Что может сказать выборка из 100 000 изделий об этой вероятности? Насколько более точные сведения можно получить из выборки объемом в 200 000 изделий? Постановка задачи в такой форме напоминает задачу с кувшином Якоба Бернулли и сводится к вычислению так называемой «апостериорной вероятности». Самое эффективное решение этой задачи было предложено пастором Томасом Байесом (Bayes) (1702 – 1761). В его работе «О решении проблемы в теории случайностей» («Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances») заложены основы современных методов статистического анализа, начало которым было положено трудами Якоба Бернулли.

Байес задается вопросом, как определить вероятность наступления события, если нам известно, что оно наступило в определенном числе случаев. Подход Байеса заключается в использовании новой информации для уточнения значения вероятности, полученного на основе старой информации, или, пользуясь языком статистики, сравнении апостериорной вероятности с априорной. Процедура пересмотра выводов относительно старой информации по мере получения новой имеет источником философскую точку зрения, делающую достижения Байеса чрезвычайно современными: в динамичном мире в условиях неопределенности нет однозначных ответов.

Отличительной чертой научных достижений этого времени является смелая мысль, что неопределенность (которая означает, что истинное значение вероятности наступления интересующего нас события неизвестно) может быть измерена. Якоб Бернулли, Абрахам де Муавр и Томас Байес показали, как оценить вероятность на основе эмпирических данных. И это не удивительно, так как в XVIII веке познание считалось высшей формой человеческой деятельности. Это было время избавления науки от всего метафизического. Перестали существовать препятствия для исследования непознанного и созидания нового. Огромные успехи в освоении природы риска, достигнутые в XVIII веке, дали мощный толчок науке следующего столетия.

7 Нормальное распределение и закон схождения к математическому ожиданию

Одним из выдающихся мыслителей, достижения которого в области теории вероятностей легли в основу современных методов контроля риска, был Карл Фридрих Гаусс (Gauss) (1777 – 1855). Свой вклад в теорию вероятностей он внес, занимаясь геодезическими измерениями кривизны Земли для определения точности географических наблюдений.

Анализируя распределение результатов этих замеров, Гаусс заметил, что они имеют разброс, но, когда число замеров растет, результаты группируются вокруг некоторой «центральной» точки. Этой центральной точкой является ожидаемое значение (математическое ожидание) измеряемой величины, а сами результаты распределяются симметрично по обе стороны от математического ожидания. Чем больше измерений выполнялось, тем больше прояснялась картина распределения результатов и тем больше она напоминала колоколообразную кривую, полученную де Муавром. Если бы результат каждого измерения точно соответствовал тому, что мы измеряем, не о чем было бы говорить. Однако в измерениях всегда присутствуют ошибки, распределение значений которых описывается колоколообразной кривой, как установил Гаусс. То есть на истинное значение измеряемой величины, равное вышеупомянутому математическому ожиданию, накладываются нормально распределенные погрешности. Таким образом, процесс получения статистических оценок измеряемой величины по имеющимся данным сводится к анализу этой колоколообразной кривой, назначение которой не в определении точного (истинного) значения измеряемой величины, что невозможно сделать, а в оценке ошибок.

По утверждению Фрэнсиса Гальтона (Galton) (1822 – 1911), для того чтобы результаты наблюдений располагались нормально или симметрично относительно математического ожидания, необходимы два условия. Во-первых, число наблюдений должно быть достаточно велико, во-вторых, наблюдения должны быть независимыми и производиться в одинаковых условиях. Взаимозависимость входящих в выборку данных может стать причиной серьезных ошибок.

Многие натуральные показатели, например рост людей в группе или длина среднего пальца, описываются нормальным распределением. Все это является отражением утверждения, которое носит сейчас название «центральной предельной теоремы». Его смысл состоит в следующем. Если какая-нибудь случайная величина представляет собой сумму большого числа не зависящих друг от друга случайных воздействий, каждое из которых вносит в сумму незначительный вклад, то эта случайная величина распределена приблизительно нормально. Эта теорема была впервые сформулирована Пьером Симоном де Лапласом (Laplace) (1749 – 1827) в 1809 году в работе, которую он закончил и опубликовал перед тем, как в 1810 году ознакомился с «Теорией движения» («Theoria Motus») Гаусса.

Нормальное распределение является основным элементом большинства систем управления риском. На нем целиком основан страховой бизнес. Когда страховые компании собирают сведения о миллионах людей обоего пола всех возрастов, значения продолжительности жизни оказываются распределенными по нормальной кривой. В силу этого страховые компании способны с большой степенью надежности оценить продолжительность жизни различных групп населения. Они могут не только оценить ожидаемое значение продолжительности жизни любого человека, но и определить диапазон (доверительный интервал), в котором она находится с заданной вероятностью. Получая же дополнительные данные, компании повышают точность своих оценок.

Однако рано или поздно перед нами встанет вопрос о том, насколько хорошо какие-нибудь значения соотносятся с математическим ожиданием? Насколько стабильно, насколько исчерпывающе это математическое ожидание характеризует поведение? Если результаты наблюдений сильно отклонялись от математического ожидания в прошлом, какова вероятность их схождения к нему в будущем? И если схождение будет иметь место, сохранится ли прежнее значение математического ожидания? Верно ли, наконец, что любое «падение» обязательно сменится «подъемом»? Другими словами, вопрос сводится к следующему: зависит ли от чего-нибудь математическое ожидание и если да, то как и от чего. Для ответа на все эти вопросы нужна способность различать нормальное и аномальное, то есть способность оценивать истинное значение математического ожидания в тех случаях, когда оно не известно.

В 1835 году был опубликован «Трактат о человеке и развитии его способностей» («A Treatise on Man and the Development of his Faculties»). Автор этой работы – Ламберт Адольф Жак Кветеле (Quetelet) (1796 – 1874) – создал героя, который жив до сих пор, – «среднего человека». В качестве оценки истинного значения математического ожидания Кветеле использовал среднее арифметическое наблюдений. Проводя измерения различных людей, Кветеле старался определить характеристики среднего мужчины, становившегося затем образом определенной группы, которую он представлял. Кветеле был убежден, что сможет найти образ среднего человека для любой возрастной группы. Более того, он утверждал, что может не только определить, но и объяснить, почему данный индивидуум принадлежит скорее к одной группе, нежели к другой. Это был принципиально новый шаг: до сих пор еще никому не приходило в голову использовать математику и статистику для отделения причины от следствия.

Что бы ни брался исследовать Кветеле, всегда ошибки или отклонения от математического ожидания распределялись согласно нормальному закону. Это все больше убеждало Кветеле в правомерности его понятия среднего человека. Поэтому он положил его в основу всех его выводов, полученных на основе статистических обследований.

К тому времени было уже установлено, что нормальное распределение, описываемое формулой Гаусса-Лапласа, имеет широкое распространение в природе, а теперь подтвердилось, что оно может быть положено в основу описания социальных явлений и физических характеристик людей. Кветеле был убежден, что нормальное распределение измерений, относящихся к группе людей, свидетельствует только о случайном характере различий в группе испытуемых.

Однако известный французский экономист, математик и философ Антуан Августин Курно (Cournot) (1801 – 1877) подозревал, что различия могут быть не случайными. Он полагал, что невозможно установить, какие из данных следует считать значимыми, а какие случайными: «Одна и та же величина отклонения [от математического ожидания] может служить основанием для различных суждений». Сегодня то, что вызвало неприятие Курно, статистики называют «добычей данных». Если «мучить» данные достаточно долго, можно доказать что угодно. Курно чувствовал, что Кветеле ступил на опасную почву широких обобщений на основе ограниченного числа наблюдений. Весьма вероятно, что другая серия наблюдений над группой того же размера могла бы дать результаты, существенно отличающиеся от полученных в первой серии. Сейчас нам уже ясно, что увлеченность нормальным распределением завела Кветеле слишком далеко. Тем не менее в свое время его работы сыграли огромную роль.

Новые средства, помогающие отличить ситуации с измеримым риском от неопределенных ситуаций, разработал Гальтон, воспользовавшись открытым Гауссом и его предшественниками нормальным распределением. Нововведения и достижения Гальтона оказали весомое влияние и на математику и на практику принятия решений в повседневной жизни. Проверяя свои идеи на опыте, он способствовал созданию новой статистической теории, хотя вовсе не ставил перед собой этой задачи. Работы Гальтона привели к открытиям, имеющим существенное значение для прогнозирования и управления риском.

Гальтон занимался наукой о наследственности, которая изучает процесс передачи ключевых характеристик из поколения в поколение. При этом всегда интересны исключения – индивидуумы, чьи характеристики не соответствуют норме, но еще интереснее то, что все члены вида в значительной степени похожи друг на друга. Постоянство математического ожидания, стоящее за этой тенденцией к однородности, является важнейшей статистической закономерностью.

Кто из живущих на Земле людей является типичным представителем своего вида? Насколько представители каждого вида отличаются друг от друга? Есть ли в различиях закономерность или они являются просто результатом случайных воздействий? Иначе говоря, что мы называем нормой? В поисках ответов на эти вопросы Гальтон провел множество эмпирических исследований. Но на его пути упорно стоял закон об отклонениях от математического ожидания. Нужно было как-то объяснить различия в наблюдениях, используя нормальное распределение. Поиски ответа на этот вопрос привели его к открытию, влияющему ныне на принятие большинства решений.

О первом шаге Гальтон сообщил в статье, которая была опубликована в 1875 году. В ней он высказал предположение, что универсальность распределения, симметричного относительно математического ожидания, может быть результатом влияний факторов, которые сами распределены нормальным образом, выстраиваясь от наиболее редких условий к наиболее частым и затем опять к наиболее редким противоположным условиям. Гальтон предположил, что даже в рамках каждого отдельного фактора влияние распределяется от самого слабого к сильному и затем опять к противоположному слабому. Суть его аргументации сводилась к тому, что влияния, близкие к математическому ожиданию, встречаются гораздо чаще, чем экстремальные. Гальтон продемонстрировал модель своей идеи в Королевском обществе в 1874 году с помощью приспособления в виде наклонной доски с узкой горловиной вверху и торчащими под горловиной штырьками. Внизу доски располагался ряд небольших ячеек. Когда через горловину на доску высыпали дробь, она, натыкаясь на штырьки, падала вниз, заполняя расположенные внизу ячейки в полном соответствии с распределением Гаусса – большая часть дробинок собиралась в средних ячейках, остальные в убывающих количествах заполняли крайние. В 1877 году во время выступления с докладом «Основные законы наследственности» («Typical Laws of Heredity») Гальтон предложил новую модель своего приспособления. В этой модели на пути дробинок после горловины устанавливались такие же ячейки, как и внизу доски, но с отверстиями на дне, которые сначала были закрыты. После высыпания первой партии дроби дробинки распределялись на верхних ячейках в соответствии с нормальным распределением. Затем отверстия в ячейках открывались и дробинки скатывались вниз. Потом отверстия закрывались и в приспособление высыпалась следующая партия дроби и т. д. В конце опыта, в соответствии с тем, что было установлено Гальтоном ранее, дробинки на нижних ячейках распределялись по нормальному закону.

Таким образом, свойства любой группы, сколь угодно малой и хоть как-то отличающейся от других групп, имеют тенденцию распределяться в соответствии с колоколообразной кривой так, что большая часть группы попадает близко к математическому ожиданию. А когда все группы сливаются в одну, нормальное распределение большой группы выявляет математическое ожидание всей совокупности.

Вторая механическая модель была упрощенным воплощением идеи, к которой Гальтон пришел по ходу эксперимента, предложенного Дарвином в 1875 году. В этом эксперименте использовался стручковый горох. Проанализировав результаты, Гальтон обнаружил, что веса всех выращенных горошин в совокупности образовывали нормальное распределение и веса горошин, выращенных из каждой партии, также образовали нормальное распределение. Однако математические ожидания в каждой из партий различались между собой. Это навело Гальтона на мысль, что причиной полученного результата была не «комбинация различных незначительных влияний», а скорее, «процессы наследования… находятся под действием не малых, а очень важных влияний». Гальтон был уверен, что доминирующим фактором, определяющим свойства потомства, является качество родителей.

Но распределение горошин первого и второго поколений по диаметру в эксперименте выявило нечто гораздо более важное. Гальтон заметил, что разброс диаметров среди родительских семян больше, чем у потомства, то есть потомство распределено в более узком интервале, чем родительское поколение. На основе этого эксперимента Гальтон предложил общий принцип, получивший название «регрессии» или «схождения к математическому ожиданию». Если бы этот процесс схождения не работал, то есть если бы (в нашем случае) большие горошины продуцировали бы еще большие, а малые – еще меньшие, то в мире не осталось бы никого, кроме карликов и гигантов. Природа из поколения в поколение становилась бы все более причудливой, стремясь к абсолютной нестабильности, выходя за все разумные пределы.

Подход Гальтона в конце концов привел к разработке понятия «корреляции», которое является мерой того, насколько тесно математическое ожидание одной случайной величины зависит от значения другой случайной величины. В качестве таких случайных величин можно рассмотреть, например, рост родителей и детей.

Карл Пирсон (Pearson) (1857 – 1936), биограф Гальтона и выдающийся ученый, внесший существенный вклад в математическую статистику, заметил, что Гальтон совершил «революцию в наших научных представлениях, [которая] изменила философский подход к науке и даже к самой жизни». Гальтон превратил статическое понятие вероятности, базирующееся на случайности и законе больших чисел, в динамическую концепцию, описывающую процесс, в котором преемникам крайних предопределено присоединиться к толпе в центре. Изменение и движение от внешних границ к центру постоянно, неизбежно и предсказуемо. Учитывая динамические свойства этого процесса, нельзя и помыслить, что его результатом будет что-либо, кроме нормального распределения. Тенденция всегда направлена к математическому ожиданию, к восстановлению «нормальности», к среднестатистическому человеку Кветеле.

Принцип схождения к математическому ожиданию объясняет почти все разнообразие поведения в условиях риска. Именно на это уповает проигрывающий игрок. И именно с этой точки зрения воспринимал события президент США Герберт Гувер, когда в 1931 году во время Великой Депрессии, ободряя сограждан, говорил, что процветание уже близко. К несчастью для него и других, он был неправ, середина находилась не там, где он предполагал.

Закон схождения к математическому ожиданию породил многие системы принятия решений с их философскими обоснованиями. Действительно, ведь, согласно этому закону, превращение большого в бесконечно большое или малого в бесконечно малое маловероятно. И уступая искушению экстраполировать тенденции прошлого в будущее, нужно помнить об этом.

Однако и с этим законом все не так просто. Существует три причины, без учета которых использование схождения к математическому ожиданию может стать ненадежным ориентиром в процессе принятия решений. Во-первых, иногда оно осуществляется так медленно, что любое возмущение снижает очевидность процесса. Во-вторых, оно может быть настолько сильным, что на подходе к математическому ожиданию значения начинают колебаться вокруг него с повторяющимися нерегулярными отклонениями в обе стороны. Наконец, самое главное, само математическое ожидание может оказаться нестабильным, так что его вчерашнее значение сегодня может быть вытеснено новым, о котором нам ничего не известно. В разгар кризиса рискованно предполагать, что до процветания уже рукой подать.

Таким образом, прежде всего, необходимо понимать, что схождение к математическому ожиданию – это только инструмент, а не религия с незыблемыми догмами. Нужно постоянно задаваться вопросом, каковы основания рассчитывать на действие этого механизма? Многие мыслители предупреждали нас, что математическое ожидание – не самая исчерпывающая из характеристик.

8 Неопределенность и теория гипотез

Стремление привнести в социальные науки ту же степень квантификации, какая воцарилась в естественных науках, с течением времени становилось все сильнее и сильнее. Экономисты постепенно усваивали словарь естественных наук. Понятия равновесия, инерции, давления и функции стали общими для естествознания и экономической науки. В наше время представители мира финансов пользуются такими терминами, как финансовое конструирование, нейронные сети и генетические алгоритмы.

Но нельзя измерить все, что угодно. В таких ситуациях мы ссылаемся на случай, счастливый или несчастливый. Однако если бы все зависело только от случая, управлять риском было бы невозможно. Уповая на случай, мы отделяем событие от его причины и уходим от истины. Сказать, что кому-то не повезло, значит снять с него всякую ответственность за то, что произошло. Сказать, что кому-то повезло, значит отказать ему в признании заслуг, которые могли привести к счастливому результату. Вправе ли мы так говорить? Судьба или выбор поведения решают исход дела?

Мы никогда не сможем ответить ни на вопрос, какова наша заслуга в том, чего мы достигли, ни на вопрос, как мы этого достигли, пока не научимся отличать поистине случайные события от событий, являющихся результатом причинно-следственной связи. Рискуя, мы ставим на исход, становящийся результатом принятого нами решения, хотя сам результат в точности нам неизвестен. Сущность управления риском состоит в максимизации набора обстоятельств, которые мы можем контролировать, и минимизации набора обстоятельств, контролировать которые нам не удается и в рамках которых связь причины и следствия от нас скрыта.

Что же мы понимаем под случаем? Якоб Бернулли говорил о том, что, если бы удалось повторить все события с начала времен, мы бы обнаружили, что каждое из них имеет «определенную причину» и что даже события, которые нам представляются скорее случайными, были предопределены «некоей необходимостью, или Судьбой». Де Муавр называл это Божественным Предначертанием. Лаплас тоже не допускал существования случая. Предположив существование «бесконечного разума», способного к постижению всех причин и следствий, Лаплас отвергал саму идею неопределенности. Тем не менее Лаплас допускал, что в некоторых случаях трудно найти причину, и предостерегал от тенденции непродуманно приписывать определенную причину событиям в тех ситуациях, когда действуют только вероятностные законы. «Чем необычней событие, – заключает Лаплас, – тем больше ощущаемая нами необходимость найти ему точное объяснение».

Другой французский математик – Жюль Анри Пуанкаре (Poincaré) (1854 – 1912) – придал добавочный акцент концепции причинно-следственной связи и важности информации при принятии решений. Пуанкаре был убежден, что все имеет свою причину, хотя люди не способны постичь все причины всех происходящих событий. Чтобы подчеркнуть всесилие причинно-следственной связи, Пуанкаре предлагал представить себе мир без нее. В мире причинно-следственных связей знание причин позволяет предсказать следствия. Поэтому «случайное для несведущего не случайно для ученого. Случайное – это мера нашего незнания».

Лаплас и Пуанкаре обратили внимание на то, что нам зачастую недостает информации для применения теории вероятностей. Информация, которая у нас есть, не та, которую мы хотели бы иметь. А информация, которую мы хотели бы иметь, не та, которая нам на самом деле нужна. Эта неопределенность делает сомнительными наши суждения и рискованными основанные на них действия.

При недостаче информации мы прибегаем к индуктивным рассуждениям и пытаемся угадать возможные шансы. Индуктивные рассуждения приводят нас к некоторым курьезным выводам, когда мы пытаемся совладать с неопределенностью и риском. Наиболее впечатляющее исследование этого феномена выполнено нобелевским лауреатом Кеннетом Эрроу (Arrow) (р. 1921), который пришел к заключению, что в большинстве своем люди переоценивают информацию, которая им доступна.

В одной из своих работ, посвященных риску, Эрроу задается вопросом, почему многие люди время от времени играют в азартные игры, а также почему большинство людей регулярно оплачивает взносы за страховые полисы. Ведь теория вероятностей ясно дает понять, что в обоих случаях это просто потеря денег. Дело в том, утверждает Эрроу, что эти люди склонны смириться с большой вероятностью незначительного проигрыша в надежде на малую вероятность много выиграть. Мы покупаем страховой полис, потому что предпочитаем игру, в которой с вероятностью почти 100% проигрываем помалу (выплачивая страховую премию), но имеем шансы, хотя и малые, большого выигрыша (выплата нам страхового возмещения в случае наступления страхового события), игре с детерминированными малым выигрышем (сэкономленные расходы на страхование) и с неопределенными, но крайне разрушительными для нас последствиями.

Страхование на практике является эффективным только в условиях, при которых выполняется закон больших чисел, то есть если число страхующихся от риска велико, а сами риски независимы друг от друга. Эта «независимость» имеет несколько аспектов. Она означает, что причина возникновения страхового события должна быть независима от действий держателя страхового полиса. Она также означает, что страхуемые риски должны быть независимы друг от друга. Наконец, страхование возможно только в том случае, когда есть надежные способы оценить вероятность наступления страхового события. Впрочем, Эрроу предостерегает, что полное устранение страха перед риском может создать почву для безответственного поведения держателя полиса.

Эрроу интересует, как мы принимаем решения в условиях неопределенности и как живем с решениями, которые приняли. Он подводит нас к пониманию того, как люди маневрируют между риском, который им уготован судьбой, и риском, который они выбирают сами. Именно Эрроу следует считать основателем концепции управления риском как осознанной формы искусства жизни. Понимание стратегии риска как искусства жизни основано на простом принципе: наш мир обладает неопределенностью.

Предположим, некий незнакомец предлагает вам сыграть в «орлянку». Он уверяет, что монете, которую он предлагает для игры, можно «верить». Как узнать, правда ли это? Вы решаете, прежде чем согласиться на игру, подбросить монету десять раз. Пусть восемь раз выпадает «орел» и два раза «решка». Вы говорите, что у монеты смещен центр тяжести. Этот незнакомец дает вам учебник теории вероятностей, и вы узнаёте, что ваш односторонний результат ничего не доказывает, так как возможен для симметричной монеты в 45‑ти испытаниях из 1 024‑х. Теперь вы обращаетесь к учению Якоба Бернулли и требуете время, чтобы испытать монету в ста бросках. И в восьмидесяти случаях выпадает «орел»! Однако учебник теории вероятностей сообщает, что для симметричной монеты вероятность выбросить «орла» восемьдесят раз из ста все равно отлична от нуля, хоть и составляет около четырех десятых от одной миллиардной! То есть и теперь у вас нет стопроцентной уверенности в том, что монета жульническая. Такую уверенность вы не получите никогда, даже если будете бросать монету всю оставшуюся жизнь. В нашем случае реализации настолько маловероятного события, скорее всего, достаточно, чтобы признать незнакомца мошенником, хотя всегда останется вероятность того, что вы совершили несправедливость по отношению к нему. Ведь вероятность правды не есть правда, как сказал Сократ, и практическая достоверность – это меньше, чем достоверность, как сказал Якоб Бернулли.

В условиях неопределенности выбор осуществляется не между тем, верна ли та или иная гипотеза или нет, а между тем, отказываемся ли мы или нет принять данную гипотезу. Мы можем решить, что вероятность нашей неправоты так мала, что не следует отказываться от принятия гипотезы (отвергать гипотезу). И мы можем решить, что вероятность нашей неправоты так велика, что мы должны отказаться от принятия гипотезы (отвергнуть гипотезу). Но если вероятность того, что мы неправы, не равна нулю, мы не можем утверждать, что гипотеза верна. Эта принципиальная позиция отделяет обоснованное научное исследование от шарлатанства. Гипотеза является обоснованной и научной, если она допускает проверку, по результатам которой может быть отвергнута, и вероятность такого исхода должна быть измеримой.

Рассмотрим такой пример. Пусть анализируются случаи рака легких у некурящих женщин, живущих с курящими мужчинами. Контрольная группа составляется из заболевших раком легких некурящих женщин, живущих с некурящими мужчинами. Тогда отношение результата, полученного в ходе обследования группы, испытавшей воздействие исследуемого фактора, к результату, полученному в контрольной группе, не испытавшей такого воздействия, называется «статистикой критерия». Именно величина статистики критерия кладется в основу решения о необходимости тех или иных действий. То есть статистика критерия помогает исследователю выявить случаи с более значимыми результатами. Выбор же критического значения статистики критерия (то есть превышение статистикой критерия этого значения означает для исследователя значимость результата) полностью зависит от предпочтений исследователя. Например, эпидемиологи – статистики здоровья – обычно считают результат статистически значимым, если вероятность того, что здесь игра случая, составляет не более 5%.

Неоценимый вклад в становление и развитие теории вероятностей внесли и многие русские ученые, среди которых Пафнутий Львович Чебышев (1821 – 1894) (открытие и доказательство обобщенных законов больших чисел), Андрей Андреевич Марков (1856 – 1922) (исследование случайных процессов), Андрей Николаевич Колмогоров (1903 – 1987) (аксиоматическое построение теории вероятностей).

9 Теория игр. Рандомизированные стратегии и случайность на службе у человека. Избежание риска по фон Нейману-Моргенштерну

Серьезный прогресс в понимании риска и неопределенности был достигнут в процессе разработки так называемой «теории стратегических игр». В теории полезности Даниила Бернулли человек принимал решения в изоляции от остальных, не имея представления, да и не интересуясь тем, что делают другие. В теории игр уже не изолированный человек, а двое или более людей стараются максимизировать свои выгоды одновременно, зная о целях, выгодах и возможных действиях других. Таким образом, теория игр привнесла принципиально новый аспект в понимание неопределенности. Предшествующие теории принимали неопределенность как жизненную данность и мало занимались ее происхождением. Теория игр показала, что истинным источником неопределенности являются намерения других.

С этой точки зрения всякое принимаемое нами решение является результатом ряда переговоров, в которых мы стараемся снизить неопределенность, давая другим то, что они хотят, в обмен на то, чего хотим мы. Но в отличие от игры в рулетку, мы редко можем рассчитывать на победу в таких играх. Выбор альтернативы, обещающей нам наибольшую выгоду, создает наибольший риск, потому что провоцирует усиленную защиту со стороны игроков, которые в результате наших действий должны проиграть. Поэтому, согласно теории игр, разумнее выбирать компромиссные альтернативы, суть которых в заключении лучшей из худших сделок[8]⁾.

Теория игр была создана американским математиком Джоном фон Нейманом (Neumann) (1903 – 1957). Он изложил ее в статье, опубликованной в 1928 г. Эта статья была посвящена поиску рациональной стратегии в игре «чет и нечет», в которой два игрока одновременно открывают по монетке. Если открываются два «орла» или две «решки», выигрывает игрок A. Если на монетах выпадают разные стороны, выигрывает игрок B. В этой игре, согласно фон Нейману, нужно стараться не столько угадать намерения противника, сколько не открыть свои. Любая стратегия, ориентированная на выигрыш, а не на избежание проигрыша, неизменно приводит к проигрышу (заметим, что здесь впервые идет речь об анализе возможности проигрыша как неотъемлемой части управления риском). Поэтому следует класть монету «орлом» или «решкой» случайным образом, открывая каждую сторону монеты с вероятностью 50%. Следуя этой стратегии, которая теперь носит название «рандомизированной стратегии», не приходится заведомо рассчитывать на выигрыш, но зато и заведомо проиграть при этом невозможно. Если же постараться выиграть, например, показывая «орла» шесть раз в каждых десяти играх, противник разгадает план игры и легко победит. Он будет всегда показывать «решку», если ему нужен «нечет», и «орла», если «чет». Таким образом, единственная рациональная стратегия для обоих игроков заключается в том, чтобы открывать монету случайным образом. Тогда после достаточно большого количества игр в половине случаев выпадет «чет», а в половине – «нечет». Математический результат, полученный фон Нейманом, заключается в доказательстве того, что это единственный исход, если оба игрока используют рациональную стратегию игры. Это не закон вероятности, утверждающий, что шансы в этой игре 50 на 50. Причиной такого результата являются сами игроки. И именно так случайность может быть поставлена на службу человеку в игре.

Изобретение же математиками в середине XX века «метода Монте-Карло[9]⁾», основанного на моделировании случайных величин, позволит применять случайность для самого эффективного (благодаря тому, что исключается внесение субъективного в процесс вычисления) способа приближенного вычисления интегралов, числа π и многого другого.

Результатом совместных усилий фон Неймана и американского экономиста Оскара Моргенштерна (Morgenstern) (1902 – 1977), увлеченного идеей применения теории игр к анализу принятия решений в экономике, стала работа «Теория игр и экономическое поведение» («Theory of Games and Economic Behavior»). В ней проанализирован пример, состоящий в том, что некоторому человеку предложен выбор между двумя альтернативами. А именно, измеряется полезность, то есть степень удовлетворения от альтернативы гарантированного получения одного доллара против возможности с вероятностью 50% получить два доллара и с вероятностью 50% – ноль (математическое ожидание суммы, которую можно получить при выборе второй возможности, равно одному доллару). Если человек скажет, что ему безразлично, играть ли или получить без игры один доллар, можно считать, что он нейтрален к риску. В соответствии с формулой, предложенной фон Нейманом и Моргенштерном, вероятность самой желанной возможности (в данном случае это возможность получения двух долларов) определяет, насколько человек предпочитает один доллар вместо нуля по сравнению с тем, насколько он предпочитает два доллара вместо нуля. Здесь 50% означают, что его предпочтение получить один доллар вместо нуля составляет половину от его предпочтения получить два доллара вместо нуля, то есть полезность двух долларов вдвое больше полезности одного доллара. Теперь предположим, что этот человек безразличен к альтернативе гарантированно получить 100 долларов против игры, где он с вероятностью 2/3 получает 200 долларов и с вероятностью 1/3 не получает ничего (математическое ожидание в этой игре составляет 133¹/₃ доллара). 2/3 вероятности получения 200 долларов означают, что предпочтение этого человека получить 100 долларов вместо нуля составляет две трети от предпочтения получить 200 долларов вместо нуля, то есть полезность от первых 100 долларов выше, чем полезность от последующих 100 долларов.

Рассуждение здесь то же самое, что и при вычислении «эквивалента определенности», которое мы получили из фундаментального принципа полезности Даниила Бернулли. И суть избежания риска именно в том, насколько сильно мы не хотим принимать решения, способные побудить других принять решения, результаты которых будут неблагоприятны для нас. Эта линия анализа ведет от фон Неймана и Моргенштерна прямо к классическим рациональным методам, потому что разумные люди всегда ясно понимали свои предпочтения, неуклонно следовали им и представляли их себе именно так. Фон Нейман и Моргенштерн заложили в основу «Теории игр и экономического поведения» важный принцип человеческого поведения: выигрыш, который получает человек, максимизирующий свою полезность, то есть заключающий лучшую из возможных сделок в пределах ограничений, налагаемых теорией игр, будет зависеть от того, сколько он «сможет получить, если будет вести себя разумно. Это «сможет получить» [выигрыш, который можно ожидать] является, конечно, минимумом; он может получить и больше, если другие наделают ошибок (поведут себя неразумно)».

Это условие стало основой для последующей критики данной теории. Тем не менее постулат теории игр о рациональности поведения и уверенность фон Неймана и Моргенштерна в том, что такое поведение может быть измерено и выражено количественными показателями, породили множество оригинальных теорий и практических приложений. Так влияние теории игр вышло далеко за пределы интересов военных. В 1950‑х и 1960‑х годах были предприняты попытки расширить область применения рациональных методов, особенно в экономике и финансовом деле. В этой ситуации основная роль отводилась идее разумности поведения, основанной на том, что измерения надежнее интуиции и разумные люди, проанализировав всю доступную информацию, принимают решения в соответствии с четко определенными предпочтениями. Они предпочитают большее богатство меньшему и стремятся к максимизации полезности. Но они также склонны избегать риска в смысле фундаментального принципа Даниила Бернулли. Поскольку понятие рациональности было так хорошо разработано, его преобразование в набор правил управления риском и максимизации полезности оказало влияние на мир инвестиций и управления ресурсами. А сформировавшееся определение риска и развившиеся на его основе практические приложения революционизировали принципы управления инвестициями, структуру рынков, используемые инвесторами методы анализа и поведение миллионов людей.

10 Финансовые рынки и броуновское движение. Безарбитражность финансовых рынков

Применение математических методов является одной из важнейших черт современной финансовой теории. В результате этого многим экономическим понятиям и фактам удается придать точный смысл и построить математические модели финансовых рынков, в том числе и модель эффективного рынка. Помимо конкретных значимых результатов, математическая формализация привела к созданию понятийной системы, в рамках которой возможно выдвижение и проверка количественных и качественных гипотез относительно финансового рынка. В методологическом плане эти достижения сблизили финансовую теорию с естественными науками. В этом смысле показательно появление такой научной дисциплины, как «эконофизика», которая изучает закономерности наблюдаемых финансовых явлений с интенсивным использованием математического аппарата.

Почти все фундаментальные результаты теории эффективного рынка в той или иной мере опираются на понятие «арбитраж». Говоря неформально, отсутствие арбитражных возможностей (безарбитражность) означает, что извлечение прибыли без риска при инвестировании (вложении) капитала невозможно. Формализация понятия арбитража и установление критериев отсутствия арбитражных возможностей не только привели к уточнению самого этого понятия, но позволили также выявить существенные характеристики финансового рынка.

На финансовых рынках, где все решения являются отражением теоретико-вероятностного прогноза на будущее, неожиданности случаются постоянно. Коллективно согласованные прогнозы, воплощенные в курсе ценных бумаг, означают, что курс не изменится, если случится то, чего ожидают участники рынка. Изменчивость курсов акций и облигаций показывает, сколь часто ожидаемое не происходит и инвесторы оказываются неправы. То есть изменчивость курса – это приблизительная мера неопределенности, которую нужно учитывать при определении инвестиционного риска.

Основы современной математической теории финансов были заложены Луи Башелье (Bachelier) (1870 – 1946) в его работах, написанных в начале ХХ века. Идея того, что цены рисковых активов можно смоделировать при помощи вероятностей, восходит к его диссертации «Теория спекуляции», которую он защитил в 1900 г. Дело в том, что на вопрос ценообразования тогда смотрели с точки зрения игрока казино: способен ли инвестор выиграть, предсказав каким-либо способом будущее значение цены. В свете этого, диссертация Башелье оказалась революционной, но в значительной степени она была проигнорирована и забыта. Башелье представил математическое описание процесса формирования цен, которые, согласно его модели, совершают броуновское движение (то есть случайное блуждание). Таким образом, он на пять лет опередил открытие Эйнштейна о движении электронов, которое в свою очередь подготовило почву для научного осмысления теории случайных блужданий в финансовой деятельности.

Одной из ключевых идей диссертации Башелье является следующее утверждение: в риск-нейтральной экономике (то есть при наличии у всех инвесторов безразличного отношения к риску или, другими словами, отсутствии у них неприятия риска) математическое ожидание величины «доход от ценной бумаги (случайная величина) минус расход на ее покупку (цена ценной бумаги)» должно равняться нулю. Это приводит к следующему выводу: цена ценной бумаги должна вычисляться как математическое ожидание ее будущей доходности. Вычисляемые так цены, в самом деле, оказываются безарбитражными. Данный подход применяется сегодня повсеместно: в стратегии торговли, в использовании производных ценных бумаг и в технике управления портфелями ценных бумаг. И наличие безарбитражности позволяет сказать, что такой финансовый рынок является справедливой игрой, то есть разбогатеть на нем, не рискуя, невозможно и использование какой бы то ни было информации не может привести к гарантированному выигрышу.

В основу нового поколения моделей на основе броуновского движения легли работы Фишера Блэка (Black) (1938 – 1995), Майрона Шоулса (Scholes) (р. 1941) и Роберта С. Мертона (Merton) (р. 1944), выполненные в 1970‑х годах и отмеченные в 1997 г. Нобелевской премией по экономике. Их главным достижением стала модель расчета справедливых цен опционов[10]⁾, созданная в 1973 г. Среди наиболее значимых теорий, основанных на несколько усовершенствованном подходе Башелье, можно выделить арбитражную ценовую теорию Стефана Росса (Ross), созданную в 1976 г. Дальнейшее развитие подхода Башелье породило множество различных техник, рамками которых остаются ключевые модели. В ряду этих исследований можно отметить работы Джона Кокса (Cox), Стефана Росса (Ross) и Марка Рубинштейна (Rubinstein), опубликованные в 1979 г.

11 Риск в инвестициях. Диверсификация. Меры риска

В 1952 году в журнале «Финансы» («Journal of Finance») была опубликована статья Гарри Марковица (Markowitz) (р. 1927) «Формирование портфеля» («Portfolio Selection»). Ее новаторство оказало впоследствии такое влияние на теорию и практику финансовой деятельности, что принесло Марковицу Нобелевскую премию по экономике. Обратившись к теме акционирования, Марковиц занялся проблемой, которая до сих пор считается слишком непредсказуемой и рискованной для трезвого академического анализа. При этом он рассмотрел наиболее сложную задачу – управление всем богатством инвестора, его «портфелем» (набором ценных бумаг, фиксирующих имущественные права). Он исходил из того, что портфели ценных бумаг принципиально отличаются от пакетов акций отдельных компаний, рассматриваемых изолированно.

Методология Марковица является синтезом идей Паскаля, де Муавра, Байеса, Лапласа, Гаусса, Гальтона, Даниила Бернулли, фон Неймана и Моргенштерна: она основывается на теории вероятностей, выборке, колоколообразной кривой, дисперсии относительно математического ожидания, регрессии к математическому ожиданию и теории полезности. Идея Марковица состояла в том, что при формировании портфеля его «риском следует интересоваться не меньше, чем прибыльностью». Эта идея кажется сейчас довольно тривиальной, но она привлекала к себе мало внимания до 1952 года, а точнее, даже еще в течение двадцати лет после публикации статьи Марковица. В те времена суждения о качестве акций сводились к тому, сколько инвестор выиграл или проиграл. О риске просто не говорили.

Акции и облигации не дают инвесторам ни малейшей возможности влиять на прибыльность вложенного в них капитала. Прибыль каждого инвестора зависит от того, сколько другие инвесторы заплатят за эти активы в некий момент неопределенного будущего, а поведение огромного количества других инвесторов никто не может ни проконтролировать, ни даже предсказать с достаточной степенью достоверности. С другой стороны, инвесторы могут управлять риском, который они на себя берут. Эти простые истины стали очевидными для многих лишь в 70‑е годы.

В статье Марковица поставлена задача использовать понятие риска при конструировании портфеля для инвесторов, которые «считают желательной запланированную (ожидаемую) прибыль и нежелательными колебания прибыли». Это выделенное курсивом «и», которое связывает прибыль и ее изменчивость, является опорным пунктом концепции Марковица. В описании инвестиционной стратегии Марковиц определяет изменчивость прибыли как «вещь нежелательную», которую инвесторы стараются минимизировать. То есть риск и изменчивость становятся синонимами. Фон Нейман и Моргенштерн начали измерять полезность, а Марковиц начал измерять инвестиционный риск. В качестве меры риска он предложил дисперсию прибыли, определяющую, насколько сильно прибыль ценной бумаги колеблется вокруг своего математического ожидания. Чем больше дисперсия, тем в меньшей степени математическое ожидание характеризует прибыль.

К следующей важной идее Марковиц пришел, отказавшись от гипотезы, утверждающей, что рынок – это однозначный процесс, в котором инвестор ставит на имущество, представляющееся ему «самым выгодным при данной цене». По мнению Марковица, инвесторам следует «диверсифицировать» свои вложения, то есть инвестировать капитал в акции не одной, а нескольких компаний, потому что это лучшая защита от изменчивости прибыльности. Стратегическая роль диверсификации является ключевой в концепции Марковица, так как в диверсифицированном портфеле, когда цена каких-нибудь акций начнет падать, найдутся другие, цена которых будет возрастать.

Хотя Марковиц никогда не ссылался на теорию игр, заметно большое сходство между его диверсификацией вложений и стратегическими играми фон Неймана. В этом случае одним игроком оказывается инвестор, а другим – фондовый рынок – противник с неизвестными намерениями. Играть против такого противника на выигрыш – это, по всей видимости, верное средство разориться. Следуя же стратегии лучшей из худших сделок – диверсифицируя, вместо того чтобы пытаться «сорвать банк», инвестор, по крайней мере, повышает свои шансы «выжить».

Теоретико-вероятностный анализ диверсификации помогает понять причины ее привлекательности. Хотя ожидаемая прибыль такого портфеля будет характеризоваться математическими ожиданиями прибылей входящих в него разнородных вложений, зато математическое ожидание изменчивости его прибыли будет меньше, чем математическое ожидание изменчивости прибыли каждой из отдельных составляющих. Главное условие – минимизировать ковариацию или корреляцию (взаимозависимость) между динамикой прибыльности акций, составляющих портфель.

Заменив приблизительные интуитивные оценки неопределенности теоретико-вероятностным расчетом, Марковиц создал осмысленную процедуру формирования «эффективного портфеля». Понятие эффективности означает здесь максимизацию конечного результата по отношению к исходным затратам или минимизацию исходных затрат по отношению к конечному результату. Эффективный портфель минимизирует нежелательный параметр – математическое ожидание изменчивости прибыльности (дисперсию прибыльности) и одновременно максимизирует желательный параметр – математическое ожидание прибыльности. Ученик, коллега и соратник Марковица Уильям Шарп (Sharpe) (р. 1934), который позднее разделил с ним Нобелевскую премию, предложил отношение математического ожидания прибыльности к дисперсии прибыльности в качестве оценки эффективности портфеля. Соответствующий подход стал известен как «эффективность по математическому ожиданию-дисперсии».

При этом в модели Марковица не существует единственного эффективного портфеля, который был бы эффективнее всех остальных. Метод Марковица предлагает множество эффективных портфелей, которое обладает следующим свойством: чем выше ожидаемая прибыль портфеля, тем больше его риск. Но каждый из портфелей этого множества, по построению, обеспечивает максимальную ожидаемую прибыль для заданного уровня риска или минимальный уровень риска для заданной ожидаемой прибыли. Таким образом, инвесторы имеют возможность выбрать из этого множества портфель в соответствии со своими предпочтениями, максимизируя ожидаемую полезность для себя. Это единственное место, в котором модель Марковица имеет дело с субъективными устремлениями человека. Все остальное в ней математизировано.

Статья «Формирование портфеля» в корне изменила профессиональный подход к инвестированию и вместе с книгой, которую Марковиц написал в 1959 году, стала основой едва ли не для всех последующих теоретических изысканий в области финансов. Впоследствии она обрела множество различных приложений: от техники подбора акций и определения соотношения между акциями и облигациями в портфелях инвесторов до оценки и управления опционами и более сложными производными ценными бумагами.

Однако некоторые постулаты статьи Марковица все же вызвали концептуальные вопросы. Во-первых, возник вопрос, что будет, если гипотеза Марковица о положительной связи между риском и прибыльностью не выдержит эмпирической проверки? Очевидно, что если малорисковые ценные бумаги станут систематически приносить высокие прибыли, то теория Марковица потеряет силу.

Во-вторых, технические проблемы возникли в связи с предположением Марковица о том, что инвесторам будет нетрудно получить оценку нужных для модели исходных данных – ожидаемой прибыльности, дисперсии и ковариации прибыльности отдельных пакетов ценных бумаг. Ведь использование данных о прошлом таит в себе опасность. И степень доверия не всегда может быть измерена, тем более с точностью, которой требует подход Марковица. К тому же чувствительность модели к малым расхождениям в оценке исходных данных делает результат еще более спорным.

В-третьих, сложной процедурой в ходе реализации подхода Марковица является оценка того, как курсы различных акций или облигаций меняются по отношению к курсам других акций или облигаций. Сам Марковиц был озабочен сложностью практической реализации своих идей. Вместе с Шарпом он разработал метод, позволивший обойти процесс вычисления ковариации между прибыльностями отдельных ценных бумаг. Он предложил оценивать дисперсию прибыльности акции или облигации по отношению к ожидаемой прибыльности рынка в целом, что значительно упростило дело. На этой основе Шарп разработал получившую широкую известность модель оценки стоимости долгосрочных финансовых активов (Capital Asset Pricing Model, сокращенно, САРМ), позволяющую осуществлять оценку стоимости ценных бумаг для случая, когда все инвесторы формируют свои портфели в точном соответствии с рекомендациями Марковица. В этой модели используется коэффициент «бета» для описания математического ожидания отклонения курсов отдельных акций или других ценных бумаг относительно математического ожидания прибыльности рынка в целом за определенный период.

В-четвертых, возник вопрос, является ли дисперсия надлежащей мерой риска: если инвесторы воспринимают риск как нечто отличное от дисперсии, можно ли заменить ее другой величиной, сохранив подход Марковица к оптимизации риска и прибыли? Математическая проблема заключалась в том, что портфели и сами рынки ценных бумаг описывались у Марковица только двумя числами – ожидаемой прибыльностью и ее дисперсией. Зависимость именно от этих двух чисел оправданна, только если прибыльность (точнее, так называемая «ставка непрерывного начисления прибыли») ценных бумаг имеет нормальное распределение. Иначе дисперсия прибыльности не может служить надлежащей характеристикой неопределенности прибыльности портфеля. Решающим здесь является вопрос об измерении риска, о выборе надлежащей меры риска. Иначе как можно решать, идти или не идти на риск, если он не измерен?

Согласия по вопросу о причинах изменчивости прибыльности до сих пор нет, не говоря уже о причинах того, почему величина этой изменчивости колеблется. Мы наблюдаем изменчивость, когда происходит нечто неожиданное. Пользы от этого никакой: никто не знает, как предсказать неожиданное. С другой стороны, наличие риска означает, что на самом деле случится лишь часть того, что вообще может произойти. К этому и сводится определение изменчивости, но время остается неопределенным. Вводя элемент времени, мы ослабляем связь между риском и изменчивостью. Кроме того, время изменяет риск во многих отношениях, а не только его связь с изменчивостью. Таким образом, определение риска претерпело существенные и очень полезные изменения.

Идея заключается в том, что изменчивость нужно исследовать по отношению к некоторой точке отсчета или некоторому минимальному уровню прибыльности, который инвестору нужно превзойти. В простейшей версии этого подхода риск рассматривается как вероятность потери денег. При таком подходе точкой отсчета становится нулевая прибыль, то есть инвестор стремится так укомплектовать портфель, чтобы минимизировать вероятность того, что его прибыль станет отрицательной за определенный промежуток времени. Другими словами, риск портфеля зависит от того, с чем сравнивать его прибыльность. То есть нет оснований считать портфели рискованными, если мала вероятность того, что их прибыльность окажется ниже определенного уровня. Этот уровень не обязательно должен быть нулевым. Это может быть подвижная точка отсчета. Сейчас эту точку отсчета называют «Value at Risk», сокращенно, V@R. Она представляет собой такое значение, ниже которого прибыль способна опуститься с определенной (заданной инвестором) вероятностью за определенный промежуток времени. V@R в данном случае и выступает мерой риска портфеля, альтернативной дисперсии.

Тем не менее измерение риска как вероятности падения прибыли ниже точки отсчета никоим образом не отменяет предписания Марковица для управления портфелем. Высокое значение ожидаемой прибыльности остается желательным, а риск нежелательным: ожидаемую прибыльность нужно максимизировать, сводя риск к минимуму, то есть изменчивость по-прежнему свидетельствует о вероятности убытков. Модель Марковица работает, даже если риск представляется многомерным понятием, которое связано с чувствительностью прибыльности бумаг к неожиданным изменениям таких важных экономических показателей, как деловая активность, инфляция и процентные ставки, а также колебания рынка, на котором они продаются.

Риск может быть измерен и по-иному, исключительно на основе анализа прошлого опыта. Предположим, инвестор пытается опережать рынок, то есть старается покупать до начала роста котировок и продавать, пока они не начали падать. Тогда в качестве меры риска можно взять процент ошибок, который он может себе позволить, чтобы при этом зарабатывать больше, чем просто владея купленными ценными бумагами.

Но измерение риска значительно усложняется, если параметры не стабильны, а изменчивы. Ведь даже сама изменчивость не стоит на месте.

Наконец, измерением риска проблема снова не исчерпывается. Дело в том, что мало кто в течение всей своей жизни не меняет отношения к риску. Остроумный подход к такой возможности был предложен Шарпом. В 1990 году была опубликована его статья, в которой он проанализировал соотношение между изменением богатства и желанием инвесторов владеть рискованными ценными бумагами. Хотя в соответствии с точкой зрения Даниила Бернулли и фон Неймана у богатых людей неприятие риска должно быть больше, чем у других, Шарп высказал гипотезу, что изменение богатства тоже влияет на степень неприятия риска. Рост богатства повышает способность людей переносить потери, но потери эту способность уменьшают. Как следствие этого, увеличение богатства влечет за собой усиление «аппетита» к риску, а потери ослабляют его. Шарп предполагает, что эти изменения в неприятии риска объясняют, почему подъемы или падения на рынках всегда доходят до крайних пределов. Когда же инвесторы замечают, что зашли слишком далеко, то приступают к исправлению накопившихся ошибочных оценок.

Несмотря на критику, которой подверглась разработанная Марковицем концепция формирования портфеля, ее значение оказалось очень велико. С 1952 года она закладывается в основу важнейших теоретических построений и растущего числа практических приложений, доминирующих в современном подходе к управлению инвестициями. Критика же только стимулировала разработку новых концепций и новых приложений, которые никогда не смогли бы появиться без основополагающей идеи Марковица.

Однако почти все, созданное на основе достижений Марковица, зависит от того, как относиться к спорному вопросу о разумности инвесторов: достаточно ли рациональны инвесторы, чтобы, принимая решения, следовать рекомендациям Марковица? Как выяснится чуть позже, Даниил Бернулли недооценил способность человека сбиваться с предназначенной для него прямой и узкой тропы. Недавними исследованиями установлено, что многие отклонения от установленных норм рационального поведения являются систематическими. Можно предположить, что люди сами по себе не являются неразумными, но традиционная модель разумного поведения способна охватывать только часть пути, которым рациональный человек идет к принятию решения. В этом случае проблема заключается скорее в модели рационального поведения, а не в человеке. Если выбор, который делает человек, и логичен, и предсказуем, пусть даже скорее с разными, нежели с постоянными предпочтениями или с предпочтениями, которые не прямо укладываются в нормы рационального поведения, поведение все-таки может быть смоделировано математическими средствами. Логика может следовать различными путями, не только теми, которые определяет традиционная модель. Слово «иррациональность» может оказаться чересчур строгим определением поведения людей, потому что иррациональность сродни безумию, а в большинстве своем люди (возможно, по определению?) все-таки не являются безумцами. Чем больше мы узнаём об этом, тем больше осознаём, что ни один из нас не отвечает традиционным критериям разумности в том смысле, о котором мы раньше никогда не думали. И фон Нейман, несмотря на свою блистательную проницательность, упустил нечто очень важное.

12 Психологические аспекты поведения человека в условиях риска и неопределенности

Каждый из нас считает себя разумным и почти каждый склонен считать, что его способности, интеллект, дальновидность, опыт и способность руководить другими выше среднего уровня. А насколько эти представления соответствуют действительности? Ведь не могут же одновременно все оказаться выше среднего уровня. В большинстве своем люди, и в самом деле, не совсем иррациональны. Как станет ясно из дальнейшего, факты доказывают, что мы принимаем решения в соответствии с некоторыми закономерностями, которые позволяют нам действовать предсказуемо и во многих случаях методично. Вопрос, скорее, о степени отклонения реальности, в которой мы принимаем наши решения, от моделей принятия рациональных решений, разработанных Даниилом Бернулли и фон Нейманом.

Классическая модель рационального поведения – модель, на которой основана теория игр и большинство концепций Марковица, – определяет, как люди должны принимать решения перед лицом риска и на что был бы похож мир, если бы люди на самом деле вели себя в соответствии с определением рациональности. Однако многочисленные исследования и эксперименты показали, что отклонения от модели встречаются гораздо чаще, чем можно предположить.

Наиболее значительные исследования поведения людей в условиях риска и неопределенности были выполнены израильскими психологами Дэниэлом Канеманом (Kahneman) (р. 1934) и Эймосом Тверски (Tversky) (1937 – 1996). Результаты своей деятельности они назвали «теорией перспективы». Теория перспективы выявила стереотипы поведения, которые никогда не замечали сторонники рационального принятия решений. Канеман и Тверски приписали эти стереотипы двум человеческим слабостям. Во-первых, эмоции часто мешают самоконтролю, который необходим для рационального подхода к принятию решений. Во-вторых, люди часто не способны ясно понять, с чем имеют дело. Они испытывают то, что психологи называют трудностью осознания.

Корень наших трудностей в выборке исходных данных. Как Лейбниц когда-то напомнил Якобу Бернулли, природа столь разнообразна и столь сложна, что нам трудно делать правильные выводы из того, что мы наблюдаем. Нам доступны только крохи действительности, и это ведет нас к ошибочным выводам, когда мы интерпретируем малые выборки как полноценное отражение характеристик исследуемого объекта. Вследствие этого мы склонны использовать субъективные методы измерения: «степень уверенности» фигурирует в наших решениях гораздо чаще, чем треугольник Паскаля, а интуитивные оценки часто управляют нами даже тогда, когда мы думаем, что используем измерения. В одних условиях перед лицом выбора мы демонстрируем неприятие риска, в других превращаемся в искателей приключений. Мы часто проявляем склонность пренебрегать общими аспектами проблемы и углубляться в частности, и это явилось одной из причин того, что предписания Марковица по формированию портфеля так медленно получали признание. Мы с трудом понимаем, сколько информации нам нужно и когда она становится лишней. Мы уделяем повышенное внимание маловероятным событиям, связанным с драматическими последствиями, и обращаем мало внимания на более вероятные обыкновенные события. Мы по-разному воспринимаем расходы и невозмещенные потери, хотя их влияние на наше состояние одно и то же. Мы начинаем с чисто рационального подхода к принятию решения, а затем экстраполируем, рассчитывая главным образом на благоприятный исход. В результате мы забываем о схождении к математическому ожиданию, застываем на привычной позиции и наталкиваемся на неприятности.

Асимметрия между нашими подходами к принятию решений, направленных на достижение выигрыша, и решений, направленных на избежание проигрыша, является одной из самых поразительных находок теории перспективы. И одной из самых полезных. В статье Канемана и Тверски, опубликованной в 1979 году, описан интересный эксперимент. В первой его части они предлагали выбор между 80% шансов получения 4 000 долларов и 20% шансов получения 0 долларов – с одной стороны, и 100% шансов получения 3 000 долларов – с другой. Хотя рискованный выбор имел более высокое математическое ожидание получаемой суммы (3 200 долларов), 80% опрошенных предпочли гарантированные 3 000 долларов. Эти люди, в полном согласии с Даниилом Бернулли, избегали риска. Потом Канеман и Тверски предложили выбор между риском с 80% шансов потери 4 000 долларов и 20% шансов потери 0 долларов – с одной стороны, и 100% шансов потери 3 000 долларов. Теперь 92% опрошенных выбрали игру, хотя математическое ожидание теряемой суммы, равное 3 200 долларам, снова было больше, чем 3 000 долларов. Отсюда следует вывод, что если выбор касается потерь, то большинство выбирает риск.

Канеман и Тверски, как и многие их коллеги, выяснили, что такая асимметричность встречается постоянно в самых разных экспериментах. По этому поводу Канеман и Тверски предложили, например, следующий эксперимент. Представим себе, что некий городок стал жертвой редкого заболевания, которое должно унести жизни 600 человек. Имеются две программы поведения: программа A обеспечивает спасение 200 человек; программа B с вероятностью 1/3 может спасти всех, но с вероятностью 2/3 она окажется бессильной и все погибнут (математическое ожидание числа спасенных при выборе второй программы составляет те же 200 человек). Какую программу мы бы выбрали? Так как большинство из нас избегает риска, то, скорее всего, следует ожидать, что предпочтение будет отдано программе A, обеспечивающей спасение 200 человек, а не программе B, которая связана с риском всеобщей гибели. И действительно, в эксперименте 72% опрошенных выбрали программу A. А теперь поставим задачу иначе. Пусть в нашем распоряжении имеются следующие программы: если принять программу C, погибнут 400 человек из 600, а программа D дает 1/3 шансов за то, что все спасутся, и 2/3 за то, что все 600 человек погибнут. Заметим, что теперь в первом из двух исходов не 200 спасутся, а 400 погибнут, в то время как вторая программа обещает 1/3 шансов, что все спасутся. Канеман и Тверски сообщают, что 78% опрошенных пожелали рискнуть и высказались за игру: они не могли смириться с перспективой непременной потери 400 жизней.

Это поведение противоречит предположению о рациональности выбора. Ответ на вопрос не должен бы был зависеть от формы постановки проблемы. Канеман и Тверски истолковывают результаты этого эксперимента как демонстрацию того, что людям вовсе не свойственно неприятие риска в его классическом понимании: они рады выбрать игру, если считают ее приемлемой. Но если они не боятся риска, то в чем же дело? «Главное, что движет людьми, – это неприятие потерь, – пишет Тверски. – Люди не столько избегают неопределенности, сколько не приемлют потерь». Размеры потерь всегда кажутся больше размеров приобретений.

Тверски предлагает интересное рассуждение на эту тему: «По-видимому, наиболее значимой и всеобъемлющей характеристикой механизма, производящего чувство удовольствия, является большая чувствительность к отрицательным, чем к положительным стимулам… Подумайте о том, как вам хорошо сейчас, а затем постарайтесь представить, насколько лучше вам могло бы быть… Не так уж много вещей, которые сделают вашу жизнь лучше, но уйма всего, что может сделать ее хуже».

Одним из результатов этого исследования стало понимание того, что Даниил Бернулли был неправ, когда заявлял, что «польза, полученная от приращения богатства, обратно пропорциональна уже имеющемуся богатству». Даниил Бернулли верил, что оправданность риска, направленного на приумножение богатства, зависит от исходного уровня богатства. Канеман и Тверски обнаружили, что оценка рискованной возможности оказывается в гораздо большей зависимости не от точки отсчета, с которой оценивается возможность выигрыша или проигрыша, а от оценки конечной величины богатства, каким оно станет в результате игры. Решение определяется не тем, насколько мы богаты, а тем, сделает ли нас принимаемое решение богаче. Американский экономист Ричард Талер (Thaler) (р. 1945) описал такой эксперимент для иллюстрации этого утверждения. Он предложил одной группе испытуемых вообразить, что каждый выиграл по 30 долларов и теперь нужно сделать выбор: сыграть в «орлянку» с получением 9 долларов при выпадении «орла» и потерей 9 долларов при выпадении «решки» или не играть вообще. 70% выбрали игру. Другой группе Талер предложил такой выбор: вначале никто ничего не получает, а потом или испытуемый вступает в игру, в которой получает 39 долларов при выпадении «орла» и 21 доллар при выпадении «решки», или он отказывается от игры и получает сразу 30 долларов. Только 43% выбрали игру. Талер описывает результат как «эффект исходного богатства». Хотя обеим группам был предложен одинаковый выбор, люди с деньгами в кармане предпочитают игру, люди с пустым карманом предпочитают гарантированную раздачу денег.

Канеман и Тверски используют выражение «инвариантность (постоянство выбора) не работает» для описания непоследовательных (не обязательно неправильных) выборов в тех случаях, когда проблему предъявляют в различных формулировках. Инвариантность означает, что если A лучше B, а B лучше C, то разумные люди выберут A, а не C, – в этом суть подхода фон Неймана и Моргенштерна к понятию полезности. Или, как в приведенном выше примере, если гарантированное спасение 200 жизней является разумным решением в первом случае, оно будет столь же разумным и во втором. Но результаты исследований утверждают иное: «Отсутствие логики оказывается явлением универсальным и устойчивым. Даже после повторного предъявления проблемы испытуемые всё так же избегали риска, когда речь шла о «сохранении жизней», и были готовы идти на риск, когда ставился вопрос о «потере жизней». При этом они сохраняли уважение к логике и стремились оставаться последовательными в ответах на оба варианта проблемы».

Вывод из этих результатов неутешителен. Инвариантность с нормативной точки зрения обязательна (это то, что мы должны делать), интуитивно бесспорна и психологически несбыточна. Инвариантность не работает гораздо чаще, чем можно подозревать. Рекламный сюжет может подтолкнуть к покупке, несмотря на отрицательные для покупателя последствия, хотя другая формулировка могла бы заставить его воздержаться от покупки. Опросы общественного мнения часто дают противоположные результаты, если одни и те же вопросы ставятся в разных формулировках. Нелогичность часто принимает форму так называемого «ментального учета» – процесса, в котором мы разделяем единую ситуацию на компоненты. Поступая так, мы не замечаем, что решения, затрагивающие каждый отдельный компонент, влияют на ситуацию в целом. Итогом оказывается противоречивость ответов на один и тот же вопрос.

Мы склонны верить, что информация – это необходимая составляющая рационального процесса принятия решений и что чем больше у нас информации, тем легче выстраивать поведение в условиях риска. Однако психологи утверждают, что избыточная информация может стать препятствием и разрушить логику суждений, что дает возможность одним людям манипулировать поведением других людей в условиях риска.

Тверски уверен, что «вероятностные суждения зависят не от событий, а от описания событий… суждение о вероятности события зависит от того, насколько четко оно описано». То есть люди склонны переоценивать вероятность подробно описанного события, например, если оно разложено на несколько составляющих.

Другой интересный психологический аспект поведения человека в условиях риска выявил психолог Дэвид Белл (Bell). Он назвал его «запоздалое раскаяние». Это результат размышлений об активах, которыми мы могли бы владеть, если бы приняли правильное решение. Белл предлагает рассмотреть выбор между игрой, в которой с равными вероятностями можно выиграть 10 000 долларов либо ничего, и гарантированным получением 4 000 долларов. Он обнаружил, что многие из нас, выбрав игру и проиграв, «упрекнут себя в жадности, за которую наказаны судьбой, а затем вернутся к своим делам». Но предположим, мы поступили осторожно и выбрали 4 000 долларов, а тут выясняется, что нас ожидал выигрыш в 10 000 долларов. Сколько бы мы отдали, чтобы никогда не узнать об этом?

В 1961 году была опубликована статья, в которой американский психолог Дэниэл Эллсберг (Ellsberg) (р. 1931) ввел понятие «неприятия неопределенности». Неприятие неопределенности означает, что люди предпочитают риск с известными вероятностями исходов риску с неизвестными вероятностями исходов. Эллсберг, например, предлагал нескольким группам людей ставить на цвет шара, доставаемого из урны. В двух урнах, по 100 шаров в каждой, были шары красного и черного цвета. В первой урне их было по 50 штук каждого цвета, а распределение во второй урне оставалось неизвестным. Подавляющее число испытуемых тянуло шары из первой урны.

Тверски и его коллега Крэйг Фокс (Fox) более детально исследовали неприятие неопределенности и пришли к выводу, что дело обстоит значительно сложнее, чем предполагал Эллсберг. Они провели серию экспериментов, чтобы определить, во всех ли случаях или только в случайных играх люди предпочитают иметь дело скорее с известными вероятностями, чем с неизвестными. Ответ был ясным и убедительным: люди предпочитают неизвестные вероятности в тех ситуациях, в которых они чувствуют свою компетентность, и известные вероятности в ситуациях, в которых они чувствуют себя некомпетентными. Отсюда Тверски и Фокс делают вывод, что неприятие неопределенности «порождается чувством некомпетентности… и проявляется, когда человек оценивает совместно ясные и туманные перспективы, но оно уменьшается или исчезает вовсе, если оценивается каждая перспектива по отдельности».

Если инвесторы склонны нарушать рациональную модель, она не может рассматриваться как надежное описание поведения рынков капитала. Значит, необходимо изыскивать новые инструменты измерения риска.

В опубликованной в 1992 году статье, подводящей итог достижениям теории перспективы, Канеман и Тверски делают следующее наблюдение: «Теории выбора в лучшем случае приблизительны и несовершенны… Выбор является процессом конструктивным и ситуационным. Столкнувшись со сложной проблемой, люди… используют приблизительные и отрывочные расчеты».

Заключение

В предыдущем разделе на многих примерах были показаны повторяющиеся стереотипы непоследовательного, иррационального и некомпетентного поведения людей, вынужденных принимать решения в условиях неопределенности.

Так должны ли мы отвернуться от рационализированных теорий? Ведь из теории перспективы отнюдь не следует вывод об ограниченных возможностях человека. Даже Канеман и Тверски исходят из предположения, что «только рациональное поведение обеспечивает выживание в условиях конкуренции, а поведение, основанное на отказе от рациональности, будет хаотичным и непродуктивным». «Возможно, важнее то, – утверждают они, – что, судя по имеющимся фактам, люди принимают упорядоченные решения, хотя их рациональность не всегда отвечает принятым критериям». Талер указывает на то же в ином контексте. Если бы мы, принимая решения, всегда были рациональны, не было бы нужды в совершенствовании сложных механизмов самоконтроля, как, например, умение делать небольшие ставки на бегах, не доходя до заклада имущества. Мы используем эти механизмы, и они работают: мало кто принимает такие решения, которые приводят в сумасшедший дом.

Защитники же идеи о разумности человека ставят другой вопрос. Проведя такое количество экспериментов с проигрыванием гипотетических ситуаций, где расплата за ошибки минимальна, как мы можем быть уверенны, что эти результаты отражают реальность, надежны и соответствуют поведению людей, когда они и в самом деле принимают решения? Этот вопрос действительно важен, так как существует большая разница между обобщениями, основанными на теории, и обобщениями, основанными на экспериментах. Не так уж легко изобрести эксперимент, который заставит испытуемых вести себя правдиво и естественно, не скрывая истинных реакций и ничего не придумывая. Ведь испытуемые в таких экспериментах практически ничем не рискуют. Но поразительно постоянство, с которым в огромном множестве экспериментов находит подтверждение гипотеза рациональности выбора. И снова на этом все не заканчивается. Последующий анализ приводит к другому весьма интересному вопросу. Если люди, как правило, столь недалеки, почему многие из нас, таких умных и знающих, не богатеют?

Библиография

1 Arrow, K. The existence of an equilibrium for a competitive economy [Text] / Kenneth J. Arrow, Gérard Debreu // Econometrica. – 1954. – Vol. 22, № 3. – P. 265–290.

2 Artzner, P. Coherent measures of risk [Text] / Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber, David Heath // Mathematical Finance. – 1999. – Vol. 9, № 3. – P. 203–228.

3 Black, F. The pricing of options and corporate liabilities [Text] / Fischer Black, Myron Scholes // Journal of Political Economy. – 1973. – Vol. 81, № 3. – P. 637–654.

4 Cox, J. Options pricing: a simplified approach [Text] / John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein // Journal of Financial Economics. – 1979. – Vol. 7, № 3. – P. 229–263.

5 David, F. N. Games, gods and gambling. The origins and history of probability and statistical ideas from the earliest times to the Newtonian era [Text] / F. N. David. – London : Griffin, 1962.

6 Ellsberg, D. Risk, ambiguity, and the savage axioms [Text] / Daniel Ellsberg // Quarterly Journal of Economics. – 1961. – Vol. 75, № 4. – P. 643–699.

7 Föllmer, H. Stochastic finance. An introduction in discrete time [Text] / Hans Föllmer, Alexander Schied. – Walter de Gruyter & Co, 2004.

8 Kahneman, D. Anomalies: The endowment effect, loss aversion, and status quo bias [Text] / Daniel Kahneman, Jack L. Knetsch, Richard H. Thaler // Journal of Economic Perspectives. – 1991. – Vol. 5, № 1. – P. 193–206.

9 Kahneman, D. Experimental tests of the endowment effect and the coase theorem [Text] / Daniel Kahneman, Jack L. Knetsch, Richard H. Thaler // Journal of Political Economy. – 1990. – Vol. 98, № 6. – P. 1325–1348.

10 Kahneman, D. Prospect theory: An analysis of decision under risk [Text] / Daniel Kahneman, Amos Tversky // Econometrica. – 1979. – Vol. 47, № 2. – P. 263–291.

11 Laplace, P. S. de. A philosophical essay on probabilities [Text] / Pierre-Simon de Laplace. – New York : Dover, 1951.

12 Lintner, J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets [Text] / John Lintner // Review of Economics and Statistics. – 1965. – Vol. 47, № 1. – P. 13–37.

13 Markowitz, H. Mean-variance analysis in portfolio choice and capital markets [Text] : paperback edition / Harry M. Markowitz. – Basil Blackwell, 1990.

14 Markowitz, H. Portfolio selection [Text] / Harry M. Markowitz // Journal of Finance. – 1952. – Vol. 7, № 1. – P. 77–91.

15 Markowitz, H. Portfolio selection: Efficient diversification of investments [Text] / Harry M. Markowitz. – Wiley : Yale University Press, 1970.

16 Marrison, C. The fundamentals of risk measurement [Text] / Christopher Marrison. – McGraw-Hill, 2002.

17 Merton, R. Theory of rational option pricing [Text] / Robert C. Merton // Bell Journal of Economics and Management Science. – 1973. – Vol. 4, № 1. – P. 141–183.

18 Neumann, J. Theory of games and economic behavior [Text] / John von Neumann, Oskar Morgenstern. – Princeton : Princeton University Press, 1944.

19 Poincaré, H. Calcul des probabilités [Text] / Henri Poincaré. – Paris : G. Carré, 1896.

20 Sharpe, W. Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk [Text] / William F. Sharpe // Journal of Finance. – 1964. – Vol. 19, № 3. – P. 425–442.

21 Todhunter, I. A history of the mathematical theory of probability from the time of Pascal to that of Lagrange [Text] / I. Todhunter. – Cambridge, 1865.

22 Боди, З. Финансы [Текст] / Зви Боди, Роберт Мертон ; перевод с англ. – М. : Вильямс, 2003. – 592 с.

23 Гитман, Л. Дж. Основы инвестирования [Текст] / Л. Дж. Гитман, М. Д. Джонк ; перевод с англ. – М. : Дело, 1997. – 1008 с.

24 Касимов, Ю. Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг [Текст] / Ю. Ф. Касимов. – М. : Филинъ, 2003.

25 Колмогоров, А. Н. Роль русской науки в развитии теории вероятностей [Текст] / А. Н. Колмогоров // Роль русской науки в развитии мировой науки и культуры. – М. : Изд‑во МГУ, 1947. – Т. 1, кн. 1. – С. 53–64. – Уч. зап. МГУ, вып. 91.

26 Майстров, Л. Е. Теория вероятностей. Исторический очерк [Текст] / Л. Е. Майстров. – М. : Наука, 1967.

27 Шарп, У. Инвестиции [Текст] / У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бэйли ; перевод с англ. – М. : Инфра‑М, 1997. – 1024 с.

28 Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики [Текст] / А. Н. Ширяев. – 2‑е изд. – М. : ФАЗИС, 2004.

29 Энциклопедия финансового риск-менеджмента [Текст]. – Альпина Бизнес Букс, 2005. – 878 с.

Список источников, непосредственно использованных при написании работы

К разделам 1 – 9, 11, 12

1 Бернстайн, П. Против богов: Укрощение риска [Текст] / Питер Л. Бернстайн ; перевод с англ. А. Марантиди ; [научный редактор Б. Пинскер]. – М. : ЗАО «Олимп-Бизнес», 2000. – 400 с. : ил. – ISBN 5-901-02817-1 (рус.). – Перевод изд.: Against the gods: The remarkable story of risk / Peter L. Bernstein. – New York, 1996. – ISBN 0-471-12104-5 (англ.).

К разделу 10

2 Бабайцев, В. А. Концепция арбитража в математической теории эффективного рынка [Электронный ресурс] / В. А. Бабайцев, В. Б. Гисин // Электронная версия журнала Вестник ФА. – 2005. – Сер. 2, № 34. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://vestnik.fa.ru/2(34)2005/9.html, свободный. – Загл. с экрана.

3 Развитие гипотезы эффективного рынка [Электронный ресурс] /
Центр обучения Ю‑СТАДИ.РУ. – Электрон. дан. –
Режим доступа: http://www.u-study.ru/href?l=ru&key=lib_history_emh, свободный. – Загл. с экрана.

^{^[1]}⁾ Данное определение в настоящее время носит название «классической вероятности».

^{^[2]}⁾ Сейчас известно, что значение этой вероятности, округленное до сотых от процента, составляет 51,77%.

^{^[3]}⁾ Сейчас данный термин имеет название «математическое ожидание».

^{^[4]}⁾ То есть сумма всевозможных значений случайной величины с соответствующими «весами», где под весом понимается вероятность принятия случайной величиной данного значения.

^{^[5]}⁾ Возвращения камешков обратно в кувшин требует условие повторяемости испытаний в одинаковых условиях (чтобы истинное значение вероятности, которое мы хотим оценить, не изменялось).

^{^[6]}⁾ Данное определение в настоящее время носит название «статистической вероятности».

^{^[7]}⁾ Среднеквадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, которая представляет собой математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ожидаемого значения.

^{^[8]}⁾ Для описания таких стратегий в теории игр используются термины «максиминные» и «минимаксные» решения.

^{^[9]}⁾ Монте-Карло – город казино в Монако.

^{^[10]}⁾ Опцион – ценная бумага, дающая право своему владельцу купить (продать) акцию в определенный момент времени по определенной, заранее оговоренной цене.